Question

14．如图，在△ABC中，AB=6，BC=5，AC=4，AP是它的一条角平分线，AP的垂直平分线EF与AP相交于点E，与BC的延长线相交于F，则AF的长为6．

Answer 1

分析 由AP是△ABC的一条角平分线，AP的垂直平分线EF与AP相交于点E，易证得∠FAC=∠B，即可证得△AFC∽△BFA，然后由相似三角形的对应边成比例，求得答案．

解答 解：∵EF是AP的垂直平分线，
∴AF=PF，
∴∠FAP=∠FPA，
∵∠FAP=∠FAC+∠CAP，∠FPA=∠B+∠BAP，
∵AP平分∠BAC，
∴∠BAP=∠CAP，
∴∠FAC=∠B，
∵∠AFC=∠BFA，
∴△AFC∽△BFA，
∴$\frac{CF}{AF}$=$\frac{AF}{BF}$=$\frac{AC}{AB}$=$\frac{4}{6}$=$\frac{2}{3}$，
设CF=2x，则AF=3x，BF=BC+CF=5+2x，
∴AF²=CF•BF，
∴（3x）²=2x（5+2x），
解得：x=2，
∴AF=6．
故答案为：6．

点评 此题考查了相似三角形的判定与性质．注意证得△AFC∽△BFA，利用方程思想求解是关键．