题目内容

9.1+2+3+…+100=?经过研究,这个问题的一般性结论是1+2+3+…+n=$\frac{1}{2}$n(n+1),其中n是正整数.现在我们来研究一个类似的问题:1×2+2×3+3×4+…n(n+1)=?
观察下面三个特殊的等式
1×2=$\frac{1}{3}$(1×2×3-0×1×2)
2×3=$\frac{1}{3}$(2×3×4-1×2×3)
3×4=$\frac{1}{3}$(3×4×5-2×3×4)
将这三个等式的两边相加,可以得到1×2+2×3+3×4=$\frac{1}{3}$×3×4×5=20
读完这段材料,请直接写出下列各式的计算结果:
①1×2+2×3+3×4+…10×11=440       
②1×2+2×3+3×4+…n(n+1)=$\frac{1}{3}$n(n+1)(n+2).

分析 ①原式利用题中的方法变形,计算即可得到结果;
②原式利用题中的方法变形,计算即可得到结果.

解答 解:①原式=$\frac{1}{3}$(1×2×3-0×1×2+2×3×4-1×2×3+…+10×11×12-9×10×11)=$\frac{1}{3}$×1320=440;
②原式═$\frac{1}{3}$[1×2×3-0×1×2+2×3×4-1×2×3+…+n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)]=$\frac{1}{3}$n(n+1)(n+2),
故答案为:①440;②$\frac{1}{3}$n(n+1)(n+2)

点评 此题考查了有理数的混合运算,熟练掌握运算法则是解本题的关键.

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