Question

7．已知反比例函数y=$\frac{6}{x}$．
（1）若该反比例函数的图象与直线y=-x+a（a＞0）有两个不同交点，求a的取值范围；
（2）如图，在（1）条件下，若直线y=-x+a（a＞0）与反比例函数的图象交于A、B两点，求证：A、B关于直线y=x的对称．

Answer 1

分析 （1）根据题意可得$\frac{6}{x}$=-x+a，则x²-ax+6=0，利用根的判别式求解；
（2）求得反比例函数与y=-x+a组成的方程组，求得A和B的坐标即可作出判断．

解答 解：（1）根据题意得$\frac{6}{x}$=-x+a，则x²-ax+6=0，
△=a²-24＞0，
解得-2$\sqrt{6}$＜a＜2$\sqrt{6}$，
又∵a＞0，
∴a的取值范围是0＜a＜2$\sqrt{6}$；

（2）根据题意得$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{6}{x}}\\{y=-x+a}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{a+\sqrt{{a}^{2}-24}}{2}}\\{y=\frac{a-\sqrt{{a}^{2}-24}}{2}}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{a-\sqrt{{a}^{2}-24}}{2}}\\{y=\frac{a+\sqrt{{a}^{2}-24}}{2}}\end{array}\right.$，
则A的坐标是（$\frac{a+\sqrt{{a}^{2}-24}}{2}$，$\frac{a-\sqrt{{a}^{2}-24}}{2}$），B的坐标是（$\frac{a-\sqrt{{a}^{2}-24}}{2}$，$\frac{a+\sqrt{{a}^{2}-24}}{2}$）．
则AB关于直线y=x对称．

点评 本题考查了一次函数与反比例函数的交点坐标，正确解方程组求得A和B的坐标是关键．