Question

如图：△ABC中，点O是AC边上一动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F．
（1）求证：OE=OF；
（2）当点O运动到AC中点时，四边形AECF为怎样的四边形，并证明你的结论．

Answer 1

考点：矩形的判定,平行线的性质,等腰三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）根据平行线得出∠OFC=∠DCF，根据角平分线定义得出∠ACF=∠DCF，推出∠OFC=∠ACF，推出OF=OC，同理得出OE=OC，即可得出答案；
（2）根据平行四边形判定得出四边形是平行四边形，求出∠FCE=90°，根据矩形判定推出即可．

解答：解：（1）证明：∵MN∥BC，CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，
∴∠BCE=∠ACE=∠OEC，∠OCF=∠FCD=∠OFC，
∴OE=OC，OC=OF，
∴OE=OF；

（2）当O运动到AC中点时，四边形AECF是矩形，
∵AO=CO，OE=OF，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵∠ECA+∠ACF=

1

2

∠BCD，
∴∠ECF=90°，
∴四边形AECF是矩形．

点评：本题考查了矩形判定，平行四边形判定，平行线性质，角平分线定义的应用，主要考查学生的推理能力．