Question

1．某公司准备销售甲、乙两种材料中的一种，设年销售量为x（单位：吨）（x≤6），若销售甲种材料，每吨成本为10万元，每吨售价y（单位：万元）与x的函数关系是：y=-x+30，设年利润为W_甲（单位：万元）（年利润=销售额-成本）；若销售乙种材料销售利润S与x的函数关系是：S=-2x²+20x，同时每吨可获返利a万元（1≤a≤10），设年利润为W_乙（单位：万元）（年利润=销售利润+返利）．
（1）当x=4时，W_甲=64；
（2）当x=4，a=3时，W_乙=60；
（3）求W_甲与x的函数关系式，并求出x为何值时W_甲最大，最大值是多少？
（4）当x=5时，公司想要获得更多的年利润，通过计算说明应选择销售哪种材料？
拓展应用：
现公司决定销售甲种材料，并通过广告宣传提高销售，若一次性投入m（万元）（m＞0）的广告费，则年销售量可提高$\frac{1}{4}$m吨（提高后的销售量可突破6吨），此时的年利润为R（单位：万元），当m的值分别为4，8，10时，年利润的最大值分别记为R₄、R₈、R₁₀，直接写出它们的大小关系：R₄＜R₈＜R₁₀．

Answer 1

分析 （1）根据题意即可得到结论；
（2）代入数据计算即可；
（3）由题意得到W_甲=x（-x+30）-10x=-x²+20x；根据二次函数的性质即可得到结论；
（4）根据二次函数的性质即可得到结论．

解答 解：（1）W_甲=（-4+30-10）×4=64；
（2）W_乙=S+4a=-2×4²+20×4+4×3=60；
故答案为：64，60；
（3）由题意得：W_甲=x（-x+30）-10x=-x²+20x；
所以W_甲与x的函数关系式为：W_甲=-x²+20x；
∵W_甲=-x²+20x=-（x-10）²+100，
∵W_甲是x的二次函数，a=-1＜0，
∴当x≤6时，W_甲随x的增大而增大，
∴当x=6时，W_甲最大，最大值=-6²+20×6=84；
（4）由题意可得：W_乙=-2x²+20x+ax=-2x²+（20+a）x．
当x=5时，W_甲=75，W_乙=50+5a，
当75＞50+5a，即a＜5时，W_甲＞W，所以当1≤a＜5时，选择销售甲种材料；
当75=50+5a，即a=5时，W_甲=W_乙，所以当a=5时，销售甲、乙均可；
当75＜50+5a，即a＞5时，W_甲=W_乙，所以当＜a≤10时，选择销售乙种材料；
拓展应用：∵R=（-x+30-10）（$\frac{1}{4}$m+x）-m=-x²+（20-$\frac{1}{4}$m）x+4m，
∵m的值分别为4，8，10，
R₄的最大值=$\frac{215}{2}$，R₈的最大值=113，R₁₀=$\frac{1385}{4}$，
∴R₄＜R₈＜R₁₀．
故答案为：R₄＜R₈＜R₁₀．

点评 此题考查的是二次函数应用能力，建立二次函数的模型，根据二次函数的性质解题是关键．