Question

12．在△ABC中，以AB为斜边，作直角△ABD，使点D落在△ABC内，∠ADB=90°．

（1）如图1，若AB=AC，∠BAD=30°，AD=6$\sqrt{3}$，点P、M分别为BC、AB边的中点，连接PM，求线段PM的长；
（2）如图2，若AB=AC，把△ABD绕点A逆时针旋转一定角度，得到△ACE，连接ED并延长交BC于点P，求证：BP=CP
（3）如图3，若AD=BD，过点D的直线交AC于点E，交BC于点F，EF⊥AC，且AE=EC，请直接写出线段BF、FC、AD之间的关系（不需要证明）．

Answer 1

分析 （1）在直角三角形中，利用锐角三角函数求出AB，即可；
（2）先利用互余判断出，∠BDP=∠PEC，得到△BDP和△CEQ，再用三角形的外角得到∠EPC=∠PQC，即可；
（3）利用线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等，判断出∠AFB=90°即可．

解答 （1）解：∵∠ADB=90°，∠BAD=30°，AD=6$\sqrt{3}$，
∴cos∠BAD=$\frac{AD}{AB}$，
∴AB=$\frac{AD}{cos∠BAD}$=$\frac{6\sqrt{3}}{cos30°}$=12，
∴AC=AB=12，
∵点P、M分别为BC、AB边的中点，
∴PM=$\frac{1}{2}$AC=6，
（2）如图2，

在ED上截取EQ=PD，
∵∠ADB=90°，
∴∠BDP+∠ADE=90°，
∵AD=AE，
∴∠ADE=∠AED，
∵把△ABD绕点A逆时针旋转一定角度，得到△ACE，
∴∠AEC=∠ADB=90°
∵∠AED+∠PEC=90°，
∴∠BDP=∠PEC，

在△BDP和△CEQ中，
$\left\{\begin{array}{l}{PD=QE}\\{∠BDP=∠PEC}\\{BD=CE}\end{array}\right.$，
∴△BDP≌△CEQ，
∴BP=CQ，∠DBP=∠QCE，
∵∠CPE=∠BDP+∠DBP，∠PQC=∠PEC+∠QCE，
∴∠EPC=∠PQC，
∴PC=CQ，
∴BP=CP
（3）BF²+FC²=2AD²，
理由：如图3，

连接AF，∵EF⊥AC，且AE=EC，
∴FA=FC，∠FAC=∠FCA，
∵EF⊥AC，且AE=EC，
∴∠DAC=∠DCA，DA=DC，
∵AD=BD，
∴BD=DC，
∴∠DBC=∠DCB，
∵∠FAC=∠FCA，∠DAC=∠DCA，
∴∠DAF=∠DCB，
∴∠DAF=∠DBC，
∴∠AFB=∠ADB=90°，
在Rt△ADB中，DA=DB，
∴AB²=2AD²，
在Rt△ABF中，BF²+FA²=AB²=2AD²，
∵FA=FC
∴BF²+FC²=2AD²．

点评 此题是三角形综合题，主要考查了锐角三角函数的意义，同角或等角的余角相等，三角形的性质，全等三角形的性质和判定，线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等以及等腰三角形的性质，（1）利用三角形的中位线是解它的关键，（2）判断∠BDP=∠PEC，是解它的关键，（3）线段垂直平分线的性质是解它的关键，此题难度不大．