Question

13．已知关于二次函数y=x²-（4k+2）x+4k²+3k的图象与x轴有两个交点．
（1）求k的取值范围；
（2）若二次函数与x轴的两个交点坐标为（a，0），（b，0），并满足（a-b）²=2，求k的值，并写出二次函数的表达式；
（3）如图所示，由（2）所得的抛物线与一次函数y=-3x+$\frac{7}{2}$的图象相交于点C、点D，求三角形CDP的面积．

Answer 1

分析 （1）根据二次函数图象与x轴有两个交点可知对应一元二次方程有两个不相等实数根，由判别式大于0可求得k的范围；
（2）根据根与系数的关系可得a+b、ab，代入（a-b）²=（a+b）²-4ab=2即可求得k的值，可知答案；
（3）分别求出直线与抛物线交点坐标及两直线与y轴交点，由三角形面积公式列式计算可得．

解答 解：（1）由题意可得方程x²-（4k+2）x+4k²+3k=0有两个不相等的实根
∴[-（4k+2）]²-4（4k²+3k）0，
即4k+4＞0，解得：k＞-1；

（2）∵二次函数图象与x轴的两个交点坐标为（a，0），（b，0），
∴a+b=4k+2，ab=4k²+3k，
∵（a-b）²=2，
∴（a+b）²-4ab=2
即（4k+2）²-4（4k²+3k）=2，
解得：k=-$\frac{1}{2}$，
因此二次函数的解析式为：y=x²-$\frac{1}{2}$；

（3）由题意可得$\left\{\begin{array}{l}{y={x}^{2}-\frac{1}{2}}\\{y=-3x+\frac{7}{2}}\end{array}\right.$；
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=\frac{1}{2}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-4}\\{y=\frac{31}{2}}\end{array}\right.$，
即点C（-4，$\frac{31}{2}$）、D（1，$\frac{1}{2}$），
在二次函数中当x=0，y=-$\frac{1}{2}$，即点P（0，-$\frac{1}{2}$）
在一次函数中当x=0，y=$\frac{7}{2}$，
∴S_△CDP=$\frac{1}{2}$×[$\frac{7}{2}$-（-$\frac{1}{2}$）]×1+$\frac{1}{2}$×[$\frac{7}{2}$-（-$\frac{1}{2}$）]×4=10，
即三角形CDP的面积为10．

点评 本题主要考查二次函数与一元二次方程、一次函数相交的综合问题，熟练掌握二次函数图象与x轴的交点和一元二次方程的根之间的关系及二次函数与一次函数相交问题是解题关键．