Question

18．如图，矩形AEFG的顶点E，G分别在正方形ABCD的AB，AD边上，连接B，交EF于点M，交FG于点N，设AE=a，AG=b，AB=c（b＜a＜c）．
（1）求证：$\frac{BN}{DM}$=$\frac{b}{a}$；
（2）求△AMN的面积（用a，b，c的代数式表示）；
（3）当∠MAN=45°时，求证：c²=2ab．

Answer 1

分析 （1）首先过点N作NH⊥AB于点H，过点M作MI⊥AD于点I，可得△NHB和△DIM是等腰直角三角形，四边形AGNH和四边形AEMI是矩形，则可求得BN=$\sqrt{2}$b，DM=$\sqrt{2}$a，继而求得答案；
（2）由S_△AMN=S_△ABD-S_△ABM-S_△ADN，可得S_△AMN=$\frac{1}{2}$c²-$\frac{1}{2}$c（c-a）-$\frac{1}{2}$c（c-b），继而求得答案；
（3）易证得∴∠DMA=∠BAN，又由∠ABD=∠ADB=45°，可证得△ADM∽△NBA，然后由相似三角形的对应边成比例，求得答案．

解答 （1）证明：过点N作NH⊥AB于点H，过点M作MI⊥AD于点I，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADB=∠ABD=45°，
∴△NHB和△DIM是等腰直角三角形，四边形AGNH和四边形AEMI是矩形，
∴BN=$\sqrt{2}$NH=$\sqrt{2}$AG=$\sqrt{2}$b，DM=$\sqrt{2}$MI=$\sqrt{2}$AE=$\sqrt{2}$a，
∴：$\frac{BN}{DM}$=$\frac{b}{a}$；

（2）S_△AMN=S_△ABD-S_△ABM-S_△ADN
=$\frac{1}{2}$AB•AD-$\frac{1}{2}$AB•ME-$\frac{1}{2}$AD•NG
=$\frac{1}{2}$c²-$\frac{1}{2}$c（c-a）-$\frac{1}{2}$c（c-b）
=$\frac{1}{2}$c（c-c+a-c+b）
=$\frac{1}{2}$c（a+b-c）；

（3）∵∠DMA=∠ABD+∠MAB=∠MAB+45°，∠BAN=∠MAB+∠MAN=∠MAB+45°，
∴∠DMA=∠BAN，
∵∠ABD=∠ADB=45°，
∴△ADM∽△NBA，
∴$\frac{DM}{AD}$=$\frac{AB}{BN}$，
∵DM=$\sqrt{2}$a，BN=$\sqrt{2}$b，
∴c²=2ab．

点评 此题属于四边形的综合题．考查了正方形的性质、等腰直角三角形的性质以及相似三角形的判定与性质．注意准确作出辅助线是解此题的关键．