Question

14．先阅读，然后回答问题：
化简：$\sqrt{{x}^{2}-6x+9}+\sqrt{{x}^{2}+4x+4}$．
由于题中没有给出x的取值范围，所以要先分类讨论．
$\sqrt{{x}^{2}-6x+9}+\sqrt{{x}^{2}+4x+4}$
=$\sqrt{（x-3）^{2}}+\sqrt{（x+2）^{2}}$
=|x-3|+|x+2|．
令x-3=0，x+2=0，分别求出x=3，x=-2（称3，-2分别为$\sqrt{（x-3）^{2}}，\sqrt{（x+2）^{2}}$的零点值），然后在数轴上标出表示3和-2的点，如图所示，数轴被分成三段，即x＜-2，-2≤x＜3，x≥3．
当x＜-2时，原式=-（x-3）-（x+2）=-x+3-x-2=-2x+1；
当-2≤x＜3时，原式=-（x-3）+（x+2）=-x+3+x+2=5；
当x≥3时，原式=（x-3）+（x+2）=x-3+x+2=2x-1．
（1）分别求出$\sqrt{（x+1）^{2}}$和$\sqrt{（x-2）^{2}}$的零点值；
（2）化简：$\sqrt{{x}^{2}+2x+1}+\sqrt{{x}^{2}-4x+4}$．

Answer 1

分析 （1）令x+1=0，x-2=0，求出x的值即可．
（2）根据题意给出方法即可求出答案．

解答 解：（1）令x+1=0，
∴x=-1
令x-2=0
∴x=2
∴$\sqrt{（x+1）^{2}}$与$\sqrt{（x-2）^{2}}$的零点值为-1与2
（2）原式=$\sqrt{（x+1）^{2}}$+$\sqrt{（x-2）^{2}}$
=|x+1|+|x-2|
当x≤-1时，
∴x+1≤0，x-2≤-3
∴原式=-（x+1）-（x-2）
=-x-1-x+2
=-2x+1
当-1＜x＜2时，
∴x+1＞0，x-2＜0
∴原式=x+1-（x-2）
=3
当x≥2时，
∴x+1≥3，x-2≥0，
∴原式=x+1+x-2
=2x-1

点评 本题考查二次根式的性质，解题的关键是熟练运用二次根式的运算法则，本题属于基础题型．