Question

如图：四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点E，若AC平分∠DAB，且AB=AE，AC=AD
求证：①△ABC≌△AED；
②BC²=CE•AC．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,全等三角形的判定与性质

专题：证明题

分析：（1）利用全等三角形的判定（SAS）得出即可；
（2）利用全等三角形的性质得出对应角的关系进而得出△ADE∽△BCE，即可得出对应边的关系得出即可．

解答：证明：（1）∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC=∠EAB，
在△ABC和△AED中

AB=AE ∠EAB=∠DAC AC=AD

，
∴△ABC≌△AED（SAS）；

（2）∵△ABC≌△AED，
∴DE=BC，∠ACB=∠ADE，
又∵∠AED=∠BEC，
∴△ADE∽△BCE，
∴

AD

BC

=

DE

CE

，
∴AD•CE=BC•DE
∵DE=BC，AC=AD，
∴AC×CE=BC²．

点评：此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质等知识，利用已知得出△ADE∽△BCE是解题关键．