题目内容
如图，在正方形ABCD中，E为AB中点，G、F分别是AD、BC边上的点，若AG+BF=5，∠GEF=90°，则GF的长为考点：相似三角形的判定与性质,勾股定理,正方形的性质
专题：
分析：首先证明△AEG∽△BFE，从而推出对应边成比例：
=
，因为AE=BE，可得AE2=AG•BF，再根据GF2=GE2+EF2=AG2+AE2+BE2+BF2=进行化简可得GF2=（AG+BF）2，进而得到答案．
| AE |
| FB |
| AG |
| BE |
解答：解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A=∠B=90°，
∴∠AGE+∠AEG=90°，∠BFE+∠FEB=90°，
∵∠GEF=90°，
∴∠GEA+∠FEB=90°，
∴∠AGE=∠FEB，∠AEG=∠EFB．
∴△AEG∽△BFE，
∴
=
，
又∵AE=BE，
∴AE2=AG•BF，
∴GF2=GE2+EF2=AG2+AE2+BE2+BF2=AG2+BF2+AE2+BE2=AG2+BF2+2AE2=AG2+BF2+2AG•BF=（AG+BF）2=25，
∴GF的长为5．
故答案为：5．
∴∠A=∠B=90°，
∴∠AGE+∠AEG=90°，∠BFE+∠FEB=90°，
∵∠GEF=90°，
∴∠GEA+∠FEB=90°，
∴∠AGE=∠FEB，∠AEG=∠EFB．
∴△AEG∽△BFE，
∴
| AE |
| FB |
| AG |
| BE |
又∵AE=BE，
∴AE2=AG•BF，
∴GF2=GE2+EF2=AG2+AE2+BE2+BF2=AG2+BF2+AE2+BE2=AG2+BF2+2AE2=AG2+BF2+2AG•BF=（AG+BF）2=25，
∴GF的长为5．
故答案为：5．
点评：此题考查相似三角形的性质的应用，关键是正确利用勾股定理．易错点：如果学生没有发现相似三角形就无从入手解题了，或相似三角形对应边的比找不对．
练习册系列答案
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