Question

如图，已知?ABCD中，AE平分∠BAD交DC于E，DF⊥BC于F，交AE于G，且AD=DF．过点D作DC的垂线，分别交AE、AB于点M、N．
（1）若M为AG中点，且DM=2，求DE的长；
（2）求证：AB=CF+DM．

Answer 1

考点：平行四边形的性质,全等三角形的判定与性质

专题：压轴题

分析：（1）由?ABCD中，AE平分∠BAD交DC于E，DF⊥BC，易证得∠DMG=∠DGM，求得DG=DM=2，由直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半，求得AG的长，继而求得DE的长；
（2）过点A作AD的垂线交DN的延长线于点H，先证DC=DN，AH=CF，再证AH=MH得证．

解答：解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，
∴∠BAE=∠DEA，
∵AE平分∠BAD，
∴∠DAE=∠DEA，
∴DE=AD，
∵∠DAE=∠DEA，
∵DF⊥BC，
∴DF⊥AD，
∵M为AG中点，
∴AG=2DM=4，
∵DN⊥CD，
∴∠ADM+∠MDG=∠MDG+∠EDG，
∴∠ADM=∠EDG，
∴∠DAE+∠ADM=∠DEA+∠EDG，
即∠DMG=∠DGM，
∴DG=DM=2，
在Rt△ADG中，DE=AD=

AG2-DG2

=2

3

；

（2）证明：过点A作AD的垂线交DN的延长线于点H，
在△ADH和△FDC中，

∠ADH=∠FDC AD=FD ∠DAH=∠DFC=90°

，
∴△DAH≌△DFC（ASA），
∴AH=FC，DH=DC，
∵DF⊥AD，
∴AH∥DF，
∴∠HAM=∠DGM，
∵∠AMH=∠DMG，∠DMG=∠DGM，
∴∠HAM=∠HMA，
∴AH=MH，
∴MH=CF，
∴AB=CD=DH=MH+DM=CF+DM．

点评：此题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定、等腰三角形的判定与性质与性质以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．