Question

4．在正方形ABCD中，BD是一条对角线，点E在直线CD上（与点C，D不重合），连接AE，平移△ADE，使点D移动到点C，得到△BCF，过点F作FG⊥BD于点G，连接AG，EG．
（1）问题猜想：如图1，若点E在线段CD上，试猜想AG与EG的数量关系是AG=EG，位置关系是AG⊥EG；
（2）类比探究：如图2，若点E在线段CD的延长线上，其余条件不变，小明猜想（1）中的结论仍然成立，请你给出证明；
（3）解决问题：若点E在线段DC的延长线上，且∠AGF=120°，正方形ABCD的边长为2，请在备用图中画出图形，并直接写出DE的长度．

Answer 1

分析 （1）由平移得到EF=AD，再由正方形的性质得出∠ADG=∠CDB，DG=FG，从而证明△AGD≌△EGF即可；
（2）由平移得到EF=AD，再由正方形的性质得出∠ADG=∠CDB，DG=FG，从而证明△AGD≌△EGF即可；
（3）由（1）的结论AG=EG，AG⊥EG，得出∠GEA=45°，推导出∠AED=30°，再由三角函数即可求解．

解答 解：（1）如图1，

由平移得，EF=AD，
∵BD是正方形的对角线，
∴∠ADB=∠CDB=45°，
∵GF⊥BD，
∴∠DGF=90°，
∴∠GFD+∠CBD=90°，
∴∠DFG=45°，
∴GD=GF，
在△AGD和△EGF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=EF}\\{∠ADG=∠EFG}\\{DG=FG}\end{array}\right.$，
∴△AGD≌△EGF
∴AG=EG，∠AGD=∠EGF，
∴∠AGE=∠AGD+∠DGE=∠EGF+DGE=90°，
∴AG⊥EG．
故答案为AG=EG，AG⊥EG．

（2）（1）中的结论仍然成立，
证明：如图2

由平移得，EF=AD，
∵BD是正方形的对角线，
∴∠ADB=∠CDB=45°，
∵GF⊥BD，
∴∠DGF=90°，
∴∠GFD+∠CBD=90°，
∴∠DFG=45°，
∴GD=GF，
在△AGD和△EGF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=EF}\\{∠ADG=∠EFG}\\{DG=FG}\end{array}\right.$，
∴△AGD≌△EGF
∴AG=EG，∠AGD=∠EGF，
∴∠AGE=∠AGD-∠DGE=∠EGF-∠DGE=90°，
∴AG⊥EG．

（3）如图3，连接EG，
由（1）有，AG=EG，AG⊥EG，
∴∠GEA=45°，
∵∠AGF=120°，∠DGF=90°，
∴∠AGB=∠FGE=30°，∠DGE=60°，
∴∠DEG=75°，
∵GD=GF，
∴∠GDF=∠GFD=45°，
∴∠AED=30°，
在Rt△ADE中，AD=2，
∴DE=2$\sqrt{3}$．

点评 此题是四边形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，平移的性质，找出△AGD≌△EGF的条件是解本题的关键．