Question

14．问题提出
学习了三角形全等的判定方法（即“SAS”，“ASA”，“AAS”，“SSS”）和直角三角形全等的判定方法（即“HL”）后，我们继续对“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等”的情形进行研究．
初步思考
我们不妨将问题用符号语言表示为：在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，然后，对∠B进行分类，可以分为“∠B是直角、钝角、锐角”三种情况进行探究．
深入探究
第一种情况：当∠B为直角时，△ABC≌△DEF
（1）如图①，在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E=90°，根据HL，可以知道Rt△ABC≌Rt△DEF．
第二种情况：当∠B为钝角时，△ABC≌△DEF
（2）如图②，在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B，∠E都是钝角，求证：△ABC≌△DEF．
第三种情况：当∠B为锐角时，△ABC和△DEF不一定全等
（3）如图，在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B，∠E都是锐角，请你用尺规在图③中再作出△DEF，△DEF和△ABC不全等．（不写作法，保留作图痕迹）．
（4）∠B还要满足什么条件，就可以使得△ABC≌△DEF，请直接填写结论：
在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B，∠E都是锐角，若∠B≥∠A，则△ABC≌△DEF．

Answer 1

分析 （1）根据直角三角形全等的方法“HL”证明；
（2）过点C作CG⊥AB交AB的延长线于G，过点F作FH⊥DE交DE的延长线于H，根据等角的补角相等求出∠CBG=∠FEH，再利用“角角边”证明△CBG和△FEH全等，根据全等三角形对应边相等可得CG=FH，再利用“HL”证明Rt△ACG和Rt△DFH全等，根据全等三角形对应角相等可得∠A=∠D，然后利用“角角边”证明△ABC和△DEF全等；
（3）以点C为圆心，以AC长为半径画弧，与AB相交于点D，E与B重合，F与C重合，得到△DEF与△ABC不全等；
（4）根据三种情况结论，∠B不小于∠A即可

解答 （1）解：根据HL定理可以推出Rt△ABC≌Rt△DEF，
故答案为：HL；

（2）证明：如图1，过点C作CG⊥AB交AB的延长线于G，过点F作FH⊥DE交DE的延长线于H，
∵∠ABC=∠DEF，且∠ABC、∠DEF都是钝角，
∴180°-∠ABC=180°-∠DEF，
即∠CBG=∠FEH，
在△CBG和△FEH中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CBG=∠FEH}\\{∠G=∠H=90°}\\{BC=EF}\end{array}\right.$，
∴△CBG≌△FEH（AAS），
∴CG=FH，
在Rt△ACG和Rt△DFH中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=DF}\\{CG=F}\end{array}\right.$，
∴Rt△ACG≌Rt△DFH（HL），
∴∠A=∠D，
在△ABC和△DEF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠D}\\{∠ABC=∠DEF}\\{AC=DF}\end{array}\right.$，
∴△ABC≌△DEF（AAS）；

（3）解：如图2，△DEF和△ABC不全等；

（4）解：若∠B≥∠A，则△ABC≌△DEF，
故答案为：∠B≥∠A．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质，应用与设计作图，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键，阅读量较大，审题要认真仔细．