Question

17．根据已知条件确定二次函数的表达式
（1）图象的顶点为（2，3），且经过点（3，6）
（2）二次函数y=ax²+bx+c的对称轴为x=3，最小值为-2，且过（0，1），求此函数的解析式．
（3）图象经过点（1，0），（0，-3），且对称轴是直线x=2．

Answer 1

分析 （1）根据抛物线的顶点坐标设出，抛物线的解析式为：y=a（x-2）²+3，再把（3，6）代入，求出a的值，即可得出二次函数的解析式；
（2）设顶点式为y=a（x-3）²-2，然后把（0，1）代入求出a即可；
（3）根据题意设出抛物线的解析式为y=a（x-2）²+k．把A（1，0），B（0，-3）的坐标代入，利用待定系数法求得即可．

解答 解：（1）∵图象的顶点为（2，3），且经过点（3，6），
设抛物线的解析式为：y=a（x-2）²+3，再把（3，6）代入，
可得a（3-2）²+3=6，
∴a=3，
∴抛物线的解析式为：y=3（x-2）²+3；

（2）设抛物线解析式为y=a（x-3）²-2，
把（0，1）代入得9a-2=1，解得a=$\frac{1}{3}$，
所以抛物线解析式为y=$\frac{1}{3}$（x-3）²-2；

（3）设抛物线的解析式为y=a（x-2）²+k．把A（1，0），B（0，-3）的坐标代入，得
$\left\{\begin{array}{l}{0={a（1-2）}^{2}+k}\\{-3={a（0-2）}^{2}+k}\end{array}\right.$
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{k=1}\end{array}\right.$
∴y=-（x-2）²+1=-x²+4x-3．
即这个二次函数的解析式为y=-x²+4x-3．

点评 本题主要考查了待定系数法求解析式，二次函数的解析式有三种常见形式：①一般式：y=ax²+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）； ②顶点式：y=a（x-h）²+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标； ③交点式：y=a（x-x₁）（x-x₂）（a，b，c是常数，a≠0）；熟练掌握并运用以上三种解析式是解答此题的关键．