Question

9．如图，CE是直角△ABC斜边AB上的高，在EC的延长线上任取一点P，连接AP，过B作BG⊥AP于G，交CE于D，求证：CE²=PE•DE．

Answer 1

分析 首先证Rt△ACE∽Rt△CBE，得出CE²=AE•BE（即射影定理）；再通过证△AEP∽△BED，得出PE•DE=AE•BE，联立上述两式即可得出本题要证的结论．

解答 证明：
∵∠ACB=90°，CE⊥AB，
∴∠ACE+∠BCE=90°，∠ACE+∠CAE=90°，
∴∠CAE=∠BCE，
∴Rt△ACE∽Rt△CBE；
∴$\frac{CE}{BE}=\frac{AE}{CE}$；
∴CE²=AE•BE；
又∵BG⊥AP，CE⊥AB，
∴∠DEB=∠DGP=∠PEA=90°，
∵∠1=∠2，
∴∠P=∠3，
∴△AEP∽△DEB，
∴$\frac{PE}{BE}=\frac{AE}{DE}$，
∴PE•DE=AE•BE，
∴CE²=PE•DE．

点评 此题主要考查的是相似三角形的判定和性质，关键是根据相似三角形的判定证Rt△ACE∽Rt△CBE．