Question

在平面直角坐标系中，直线L：y=

1

3

x-

4

3

交坐标轴于A，B两点（A点在x正半轴上，B点在y轴负半轴上），点C为（1，0），在直线L上是否存在点P，使得△POC为等腰三角形？若存在，求出所有可能的点，否则请说明理由．

Answer 1

考点：一次函数综合题

专题：

分析：根据函数解析式，可得直线上的点的坐标，根据等腰三角形的定义，分类讨论：①OP=PC，②OC=OP=1，③PC=OC=1，根据两点间的距离，可得关于a的方程，根据解方程，可得答案．

解答：解：在直线L上存在点P，使得△POC为等腰三角形，
由P在直线L上，得P（a，

1

3

a-

4

3

）．
①当OP=PC时，平方得（a-1）²+（

1

3

a-

4

3

）²=a²+（

1

3

a-

4

3

）²．
化简，得2a=1，解得a=

1

2

，

1

3

a-

4

3

=-

7

6

，即P₁（

1

2

，-

7

6

）；
②当OC=OP=1时，平方得a²+（

1

3

a-

4

3

）²=1．化简得
10a²-8a+7=0，△=（-8）²-4×10×7=-216＜0，
不存在实数a，即P点不存在；
③当PC=OC=1时，平方得（a-1）²+（

1

3

a-

4

3

）²=1．
化简得5a²-13a+8=0．因式分解，得
（5a-8）（a-1）=0．
解得a=

8

5

或a=1．
当a=1时，

1

3

a-

4

3

=-1，即P₂（1，-1）．
当a=

8

5

时，

1

3

a-

4

3

=-

4

5

，即P₃（

8

5

，-

4

5

），
综上所述：P₁（

1

2

，-

7

6

），P₂（1，-1），P₃（

8

5

，-

4

5

），使得△POC为等腰三角形．

点评：本题考查了一次函数的综合题，利用点在函数图象上设出点的坐标，分类讨论：①OP=PC，②OC=OP=1，③PC=OC=1，再解方程求出P点的坐标．