Question

如图，正方形ABCD的边长为2，点E在边AD上（不与A、D重合），点F在边CD上，且∠EBF=45°．△ABE的外接圆O与BC、BF分别交于点G、H．

（1）在图1中作出圆O，并标出点G和点H；
（2）若EF∥AC，试说明

BG

与

GH

的大小关系，并说明理由；
（3）如图2所示，若圆O与CD相切，试求△BEF的面积．

Answer 1

考点：圆的综合题

专题：

分析：（1）根据题意利用同一圆中相等的弦所对的圆周角相等画出图形即可；
（2）连接BD、EG、EH，先由已知得出BD为EF的中垂线，再得出∠BEG=22.5°=∠HBG，即可得出

BG

=

GH

；
（3）将△BCF绕点B逆时针旋转90°到△BAP，过点B作BQ⊥EF，设⊙O与CD相切于点M，连接OM，延长MO交AB于点N，由已知得出△BPE≌△BFE，进而得出△AEB≌△QEB，可得C_△EFD=4，再利用中位线出a的值，利用直角三角形得出b的值，即可求出△BEF的面积．

解答：解：（1）如图1，

（2）如图2，连接BD、EG、EH，

∵EF∥AC，
∴DE=DF，
又∵BD平分∠EDF，
∴BD为EF的中垂线，
∴BE=BF，BD平分∠EBF，
又∵∠EBF=45°=∠DBC，
∴∠EBD=∠DBF=∠HBG=22.5°，
∴∠EBG=67.5°，
又∵∠EGB=90°，
∴∠BEG=22.5°=∠HBG，
∴

BG

=

GH

，
（3）如图3，将△BCF绕点B逆时针旋转90°到△BAP，过点B作BQ⊥EF，设⊙O与CD相切于点M，连接OM，延长MO交AB于点N，

在△BPE与△BFE中，

BP=BF ∠PBE=∠EBF BE=BE

，
∴△BPE≌△BFE（SAS），
∴∠AEB=∠BEQ，PE=EF，
由∠AEB=∠BEQ可知，
在△AEB和△QEB中，

∠BAE=∠BQE ∠AEB=∠BEQ BE=BE

，
∴△AEB≌△QEB（AAS），
∴BQ=AB=2，
由PE=EF可知，
C_△EFD=ED+DF+EF=ED+DF+PE=ED+DF+PA+AE=ED+AE+DF+FC=4，
设AE=a，DF=b，则DE=2-a，BE=

4+a2

，
∵O为BE中点，且MN∥AD，
∴ON=

AE

2

=

a

2

，
∴OM=2-

a

2

，
又BE=2OM，
∴

4+a2

=4-a，解得a=

3

2

，
∴ED=

1

2

，
又∵C_△EFD=4，DF=b，
∴EF=4-b-

1

2

=

7

2

-b，
在RT△EDF中，（

1

2

）²+b²=（

7

2

-b）²，解得b=

12

7

，
∴EF=

7

2

-

12

7

=

25

14

，
∴S_△BEF=

1

2

×

25

14

×2=

25

14

．

点评：本题主要考查了圆的综合题，解题的关键是正确作出辅助线，利用三解形全等及方程灵活的求解．