Question

3．如图，在△ABC中，点D是边BC中点，点E在△ABC内，AE平分∠BAC，CE⊥AE，点P在边AB上，EF∥BC．
（1）求证：四边形BDEF是平行四边形．
（2）线段BF，AB，AC存在什么数量关系？证明你得到的结论．

Answer 1

分析 （1）要证明四边形BDEF是平行四边形，根据题意可以得到判定四边形BDEF是平行四边形的条件，EF和BD，DE和BF的关系，本题得以解决；
（2）首先写出线段BF，AB，AC存在的数量关系，然后根据题目中的条件进行证明即可．

解答 （1）证明；∵AE平分∠BAC，CE⊥AE，
∴△APC是等腰三角形，
∴AP=AC，点E是PC的中点，
又∵点D是BC的中点，
∴DE∥BF，
又∵EF∥BC，
∴四边形BDEF是平行四边形；
（2）线段BF，AB，AC之间的数量关系是：AB=2BF+AC，
证明：∵AE平分∠BAC，CE⊥AE，
∴△APC是等腰三角形，
∴AP=AC，
由（1）知BF=DE，
∵点E是PC的中点，点D是BC的中点，
∴DE=$\frac{1}{2}$BP，
∴BF=$\frac{1}{2}$BP，
∵AB=BP+AP，
∴AB=2BF+AC．

点评 本题考查平行四边形的判定与性质，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．