Question

8．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知A（1-$\sqrt{5}$，1+$\sqrt{5}$），B（0，1），双曲线y=$\frac{k}{x}$经过?ABCD的顶点A、D，求D点的坐标．

Answer 1

分析 由A点坐标可求得反比例函数解析式，作AE⊥y轴于E，DF⊥x轴于F，由条件可证明△AEB≌△CFD，可求得CF，则可求得D点纵坐标，再把D点纵坐标代入可求得D点坐标．

解答 解：
如图，作AE⊥y轴于E，DF⊥x轴于F，延长AD交x轴于点N，延长DA，
∵A点在双曲线y=$\frac{k}{x}$图象上，
∴k=（1-$\sqrt{5}$）×（1+$\sqrt{5}$）=1-5=-4，
∴反比例函数解析式为y=-$\frac{4}{x}$，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，AB=DC，
∴∠MAE=∠DNC=∠BCO，且∠BAD=∠DCB，
∵∠MAE+∠EAB+∠DAB=∠DCF+∠DCB+∠BCO=180°，
∴∠DCF=∠EAB，
在△AEB和△CFD中
$\left\{\begin{array}{l}{∠AEB=∠DFC}\\{∠EAB=∠DCF}\\{AB=DC}\end{array}\right.$
∴△AEB≌△CFD（AAS），
∴DF=BE，
∴A（1-$\sqrt{5}$，1+$\sqrt{5}$），B（0，1），
∴OB=1，OE=1+$\sqrt{5}$，
∴BE=OE-OB=$\sqrt{5}$，
∴DF=$\sqrt{5}$，
∴D点纵坐标为$\sqrt{5}$，
又点D在双曲线上，
∴$\sqrt{5}$=-$\frac{4}{x}$，解得x=-$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，
∴D点坐标为（-$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，$\sqrt{5}$）．

点评 本题主要考查函数图象上点的坐标，利用条件证得△AEB≌△CFD求得DF的长是解题的关键．