Question

12．如图，在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，CO⊥AB于点O，点D、E分别在边AC、BC上，且AD=CE，连结DE交CO于点P，给出以下结论：
①△DOE是等腰直角三角形；②∠CDE=∠COE；③若AC=1，则四边形CEOD的面积为$\frac{1}{4}$；④AD²+BE²-2OP²=2DP•PE，其中所有正确结论的序号是①②③④．

Answer 1

分析 ①正确．由ADO≌△CEO，推出DO=OE，∠AOD=∠COE，由此即可判断．
②正确．由D、C、E、O四点共圆，即可证明．
③正确．由S_△ABC=$\frac{1}{2}$×1×1=$\frac{1}{2}$，S_{四边形DCEO}=S_△DOC+S_△CEO=S_△CDO+S_△ADO=S_△AOC=$\frac{1}{2}$S_△ABC即可解决问题．
④正确．由D、C、E、O四点共圆，得OP•PC=DP•PE，所以2OP²⁺2DP•PE=2OP²+2OP•PC=2OP（OP+PC）=2OP•OC，由△OPE∽△OEC，得到$\frac{OP}{OE}$=$\frac{OE}{OC}$，即可得到2OP²⁺2DP•PE=2OE²=DE²=CD²+CE²，由此即可证明．

解答 解：①正确．如图，∵∠ACB=90°，AC=BC，CO⊥AB
∴AO=OB=OC，∠A=∠B=∠ACO=∠BCO=45°，
在△ADO和△CEO中，
$\left\{\begin{array}{l}{OA=OC}\\{∠A=∠ECO}\\{AD=CE}\end{array}\right.$，
∴△ADO≌△CEO，
∴DO=OE，∠AOD=∠COE，
∴∠AOC=∠DOE=90°，
∴△DOE是等腰直角三角形．故①正确．
②正确．∵∠DCE+∠DOE=180°，
∴D、C、E、O四点共圆，
∴∠CDE=∠COE，故②正确．
③正确．∵AC=BC=1，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$×1×1=$\frac{1}{2}$，S_{四边形DCEO}=S_△DOC+S_△CEO=S_△CDO+S_△ADO=S_△AOC=$\frac{1}{2}$S_△ABC=$\frac{1}{4}$，
故③正确．
④正确．∵D、C、E、O四点共圆，
∴OP•PC=DP•PE，
∴2OP²⁺2DP•PE=2OP²+2OP•PC=2OP（OP+PC）=2OP•OC，
∵∠OEP=∠DCO=∠OCE=45°，∠POE=∠COE，
∴△OPE∽△OEC，
∴$\frac{OP}{OE}$=$\frac{OE}{OC}$，
∴OP•OC=OE²，
∴2OP²⁺2DP•PE=2OE²=DE²=CD²+CE²，
∵CD=BE，CE=AD，
∴AD²+BE²=2OP²⁺2DP•PE，
∴AD²+BE²-2OP²=2DP•PE．
故④正确．

点评 本题考查勾股定理、四点共圆、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形，学会利用四点共圆解决问题，题目比较难，用到的知识点比较多．