Question

17．已知△ABC，分别以AB、AC、为边作等边△ABE和等边△ACF，BF与CE交于点O，连接AO，若OA=1，OC=3，OB=4，求线段CE的长．

Answer 1

分析 在EC上截取ED=BO=4，连接AD，根据全等三角形的判定和性质以及等边三角形的性质进行解答即可．

解答 解：在EC上截取ED=BO=4，连接AD，

∵在等边三角形ABE和等边三角形ACF中，
∴AE=AB，AC=AF，∠EAB=∠CAF=60°，
∴∠EAC=∠BAF，
在△AEC与△ABF中
$\left\{\begin{array}{l}{AE=AB}\\{∠EAC=∠BAF}\\{AC=AF}\end{array}\right.$，
∴△AEC≌△ABF（SAS），
∴∠AEC=∠ABF，
∴∠EOF=∠OEB+∠EBO=∠OEB+∠EBA+∠ABF=∠OEB+∠EBA+∠AEC=∠AEB+∠EBA=120°，
在△AED与△ABO中
$\left\{\begin{array}{l}{AE=AB}\\{∠AED=∠ABO}\\{ED=BO}\end{array}\right.$，
∴△AED≌△ABO（SAS），
∴AD=AO，∠ADE=∠AOB，
∴∠ADO=∠AOD，∠ADO=∠AOF，
∴∠AOD=∠AOF=60°，
∴△ADO是等边三角形，
∴AO=DO=1，
∴CE=CO+DO+DE=3+1+4=8

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质：有两组边对应相等，且它们所夹的角也相等，那么这两个三角形全等；全等三角形的对应边相等．也考查了等边三角形的性质．