Question

8．如图四边形ACDE是证明勾股定理时用到的一个图形，a、b、c是Rt△ABC和Rt△BDE的三边长，易知AE=$\sqrt{2}$c，这时我们把形如ax²+$\sqrt{2}$cx+b=0的方程称为关于x的“勾系一元二次方程”，请解决下列问题：
（1）写出一个“勾系一元二次方程”；
（2）证明：关于x的“勾系一元二次方程”ax²+$\sqrt{2}$cx+b=0必有实数根．

Answer 1

分析 （1）直接找一组勾股数代入方程即可；
（2）通过判断根的判别式△的正负来证明结论．

解答 解：（1）当a=3，b=4，c=5时，
勾系一元二次方程为3x²+5$\sqrt{2}$x+4=0；

（2）证明：根据题意，得
△=（$\sqrt{2}$c）²-4ab=2c²-4ab
∵a²+b²=c²
∴2c²-4ab=2（a²+b²）-4ab=2（a-b）²≥0
即△≥0
∴勾系一元二次方程ax²+$\sqrt{2}$cx+b=0必有实数根．

点评 此类题目要读懂题意，根据题目中所给的材料结合勾股定理和根的判别式解题．