Question

11．如图，已知△ABC和△DCE均是等边三角形，点B、C、E在同一条直线上，AE与BD交于点O，AE与CD交于点G，AC与BD交于点F，连结OC、FG，则下列结论：①AE=BD；②AG=BF；③FG=CG；④∠BOC=∠EOC，⑤FG∥BE．其中结论正确的是①②③④⑤（只填序号）

Answer 1

分析 由等边三角形的性质得出AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，证出∠ACE=∠BCD，由SAS证明△AC≌△BCE，得出AE=BD，①正确；证出∠ACG=∠BCF=60°，由AAS证明△ACG≌△BCF，得出AG=BF，CG=CF，②正确；证出△CFG是等边三角形，得出FG=CG，∠FGC=∠GFC=60°=∠ACB，证出FG∥BE；③⑤正确；证明O、F、C、G四点共圆，由圆周角定理得出∠BOC=∠FGC=60°，∠COE=∠CFG=60°，得出∠BOC=∠EOC，④正确；即可得出结论．

解答 解：∵△ABC和△CDE均是等边三角形，
∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠ACB+∠ACD=∠DCE+∠ACD，
即∠ACE=∠BCD，
在△ACE和△BCD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}&{\;}\\{∠ACE=∠BCD}&{\;}\\{CE=CD}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△AC≌△BCE（SAS），
∴AE=BD，①正确；
∠CAG=∠CBF，
∵∠ACG=180°-2×60°=60°，
∴∠ACG=∠BCF=60°，
在△ACG和△BCF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ACG=∠BCF}&{\;}\\{∠CAG=∠CBF}&{\;}\\{AC=BC}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ACG≌△BCF（AAS），
∴AG=BF，CG=CF，②正确；
∵∠ACG=60°，
∴△CFG是等边三角形，
∴FG=CG，∠FGC=∠GFC=60°=∠ACB，
∴FG∥BE；③⑤正确；
∵∠DOM=∠OBC+∠OEB=∠CAG+∠OEB=60°=∠FCG，
∴O、F、C、G四点共圆，
∴∠BOC=∠FGC=60°，∠COE=∠CFG=60°，
∴∠BOC=∠EOC，④正确；
结论正确的有①②③④⑤；
故答案为：①②③④⑤．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定与性质，平行线的判定等知识；熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．