Question

如图①，P是△ABC边AC上的动点，以P为顶点作矩形PDEF，顶点D，E在边BC上，顶点F在边AB上；△ABC的底边BC及BC上的高的长分别为a，h，且是关于x的一元二次方程mx ²＋nx＋k＝0的两个实数根，设过D，E，F三点的⊙O的面积为S_⊙O，矩形PDEF的面积为S_矩形PDEF．

（1）求证：以a＋h为边长的正方形面积与以a，h为边长的矩形面积之比不小于4；

（2）求 的最小值；

（3） 当 的值最小时，过点A作BC的平行线交直线BP于Q，这时线段AQ的长与m，n，k的取值是否有关？请说明理由．

Answer 1

解法一：

（1）据题意，∵a＋h＝－，a^·h＝

∴所求正方形与矩形的面积之比：

_＝＝  

∵n ²－4mk≥0，∴n ²≥4mk，由a^·h＝知m，k同号

∴mk＞0  

（说明：此处未得出mk＞0只扣1分，不再影响下面评分）

∴≥＝4  

即正方形与矩形的面积之比不小于4

（2）∵∠FED＝90º，∴DF为⊙O的直径

∴⊙O的面积为：S_⊙O＝π()²＝π＝(EF ²＋DE ²)

矩形PDEF的面积：S_矩形PDEF＝EF^·DE

∴面积之比：_＝(＋)，设＝f

则_＝( f＋)_＝(－)²＋

∵(－)²≥0，∴(－)²＋≥  

∴_＝

⊙