Question

【题目】如图，在中，，，点，分别是，的中点，点为射线上一动点，连结，作交射线于点．

（1）当点在线段上时，求与的大小关系；

（2）当等于多少时，是等腰三角形．

Answer 1

【答案】（1）FG=FC(2) 6-3 或3 或6+3

【解析】

（1）在DC上取一点M，使DM＝DF,根据中位线和等腰直角三角形及线段的关系得到CM＝EF，再判断出∠FCM＝∠GFE，即可得出△EFG≌△MCF（ASA），即可求解；

（2）分点点F在DE上和DE的延长线上，构造直角三角形，建立方程求解即可得出结论．

（1）如图1，在DC上取一点M，使DM＝DF，

∵AC＝BC，∠ACB＝90，

∴∠A＝∠ABC＝45，

点D，E是AC，AB的中点，

∴DE＝BC＝3，AD＝CD＝AC＝3，DE∥BC，

∴CD＝DE，∠ADE＝∠CDE＝∠ACB＝90，∠AED＝∠ABC＝45

∴CD-DM=DE-DF,

∴CM＝EF，∠DMF＝45＝∠AED，

∴∠CMF＝∠FEG，

∵CF⊥FG，

∴∠EFG＋∠CFD＝90，

∵∠DCF＋∠CFD＝90，

∴∠FCM＝∠GFE，

在△EFG和△MCF中，

∴△EFG≌△MCF（ASA），

∴FG＝FC；

（2）设DF=x，

∵AC=BC=6,

∴AB=

∴BE=AE=AB=3

①当点F在DE上时，如图2，

∵△BFG为等腰三角形，

∴FG＝BG，

过点G作GN⊥DE于N，

∴∠FGN＋∠GFN＝90，

∵CF⊥FG

∴∠CFD＋∠GFN＝90，

∴∠CFD＝∠FGN，

又CF=FG, ∠CDF=∠FNG＝90

∴△CDF≌△FNG，

∴FN＝CD＝3，

∴EN＝DF＝NG，

∴EG＝EN＝NG＝x，

∴FG＝BG＝BE-EG=3-x，

在Rt△FNG中，FG2NG2＝FN2，

即：（3-x）2x2＝9，

∴x＝6＋3（舍）或x＝63，

②当点F在DE的延长线上时，如图3

∵△BFG为等腰三角形，

Ⅰ、当BF＝BG时，

过点B作BP⊥DE于P，

∴四边形BCDP是矩形，

∴BP＝CD＝3，DP＝BC＝6，

∴PF＝DFDP＝x6，

在图2中，FM＝DF＝x，

∴EG＝FM＝x，

∴BF＝BG＝EGBE＝x3＝（x3），

在Rt△BPF中，BF2PF2＝BP2，

即：[（x3）]2（x6）2＝9．

∴x＝3（舍）或x＝3，

Ⅱ、当BG＝FG时，

BG＝FG＝CF＝；EG＝MF＝DF＝x；BE＝3

∴＋3＝x，

整理得：x212x＋9＝0

解得：x＝6＋3或x＝63（不符题意舍去），

当BF＝FG时，CF＝FG＝BF＝，

∵CF＝，

∴＝，

∴x＝3（舍）

即：△BFG为等腰三角形时，x的值为6-3或3或6+3．