Question

【题目】如图1，在中，为锐角，点为射线上一点，连接，以为且在的右侧作正方形．

（1）如果，当点在线段BC上时(与点不重合)，①如图2，线段的数量关系为 ，线段所在直线的位置关系为 ；

②当点在线段的延长线上时，如,3，①中的结论是否仍然成立，并说明理由；

（2）如图4，如果是锐角，点在线段上，当满足什么条件时，(点不重合)，请直接写出答案．

Answer 1

【答案】（1）①；②①中的结论仍成立．理由见解析；（2）

【解析】

（1）①证明△BAD≌△CAF，可得：BD=CF，∠B=∠ACF=45°，则∠BCF=∠ACB+∠ACF=90°，所以BD与CF相等且垂直；
②，①的结论仍成立，同理证明△DAB≌△FAC，可得结论：垂直且相等；
（2）当∠ACB满足45°时，CF⊥BC；如图4，作辅助线，证明△QAD≌△CAF，即可得出结论．

（1）①

②当点在的延长线上时，

①中的结论仍成立．

理由如下:

由正方形得．

,

，

即，

又，

，

,

，

即

②当点D在BC的延长线上时，（1）的结论仍成立，理由是：
如图3，由正方形ADEF得AD=AF，∠DAF=90°，

∵∠BAC=90°，
∴∠DAF=∠BAC=90°，

∴∠DAF+∠CA D=∠BAC+∠CA D
即∠DAB=∠FAC，
又∵AB=AC，
∴△DAB≌△FAC（SAS），
∴CF=BD，
∠ACF=∠ABD，
∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB =45°，
∴∠ACF=∠ABC=45°
∴∠BCF=∠ACB+∠ACF=90°，
即CF⊥BD；

（2）当∠BCA=45°时，CF⊥BD，理由是：
如图4，过点A作AQ⊥AC，交BC于点Q，

∵∠BCA=45°，
∴∠AQC=45°，
∴∠AQC=∠BCA=45°，
∴AQ= AC，
∵AD=AF，∠QAC=∠DAF=90°，
∴∠QAC-∠DAC=∠DAF-∠DAC，
∴∠QAD=∠CAF，
∴△QAD≌△CAF，
∴∠ACF=∠AQD=45°，
∠BCF=∠ACB+∠ACF=90°，
即CF⊥BD．