Question

【题目】三条边都相等的三角形叫做等边三角形，它的三个角都是60°．△ABC是等边三角形，点D在BC所在直线上运动，连接AD，在AD所在直线的右侧作∠DAE=60°，交△ABC的外角∠ACF的角平分线所在直线于点E．

（1）如图1，当点D在线段BC上时，请你猜想AD与AE的大小关系，并给出证明；
（2）如图2，当点D在线段BC的反向延长线上时，依据题意补全图形，请问上述结论还成立吗？请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）AD=AE．理由见解析；（2）成立，理由见解析；

【解析】

（1）在AB上取一点M，使BM=BD，连接MD．则△BDM是等边三角形，则易证AM=DC，根据ASA即可证得△AMD≌△DCE（ASA），根据全等三角形的对应边相等，即可证得；
（2）延长BA到M，使AM=CD，与（1）相同，可证△BDM是等边三角形，然后证明△AMD≌△DCE（ASA），根据全等三角形的对应边相等，即可证得．

（1）结论：AD=AE．
理由：如图，在AB上取一点M，使BM=BD，连接MD．

∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=60°，BA=BC．
∴△BMD是等边三角形，∠BMD=60°．∠AMD=120°．
∵CE是外角∠ACF的平分线，
∴∠ECA=60°，∠DCE=120°．
∴∠AMD=∠DCE．
∵∠ADE=∠B=60°，∠ADC=∠2+∠ADE=∠1+∠B
∴∠1=∠2．
又∵BA-BM=BC-BD，即MA=CD．
在△AMD和△DCE中，
，
∴△AMD≌△DCE（ASA）．
∴AD=DE．
（2）正确．
证明：延长BA到M，使AM=CD，

与（1）相同，可证△BDM是等边三角形，
∵∠CDE=∠ADB+∠ADE=∠ADB+60°，
∠MAD=∠B+∠ADB=∠ADB+60°，
∴∠CDE=∠MAD，
同理可证，△AMD≌△DCE，
∴AD=DE．