题目内容
【题目】如图,在△ABC中,点D是BC边的中点,DE⊥BC,∠ABC的角平分线BF交DE于点P,交AC于点M,连接PC.
(Ⅰ)若∠A=60°,∠ACP=24°,求∠ABP的度数;
(Ⅱ)若AB=BC,BM2+CM2=m2(m>0),△PCM的周长为m+2时,求△BCM的面积(用含m的代数式表示).
【答案】(Ⅰ)32°;(Ⅱ)m+1.
【解析】
(Ⅰ)根据线段垂直平分线的性质,可得∠PBC=∠PCB,根据角平分线的定义,可得∠PBC=∠PCB=∠ABP,最后根据三角形内角和定理,即可得到∠ABP的度数;
(Ⅱ)根据直角三角形的性质得到BM⊥AC,求得∠BMC=90°,根据线段垂直平分线的性质得到PB=PC,求得BM+CM=m+2,推出BMCM=2m+2,于是得到结论.
解:(Ⅰ)∵点D是BC边的中点,DE⊥BC,
∴PB=PC,
∴∠PBC=∠PCB,
∵BP平分∠ABC,
∴∠PBC=∠ABP,
∴∠PBC=∠PCB=∠ABP,
∵∠A=60°,∠ACP=24°,
∴∠PBC+∠PCB+∠ABP=120°﹣24°,
∴3∠ABP=120°﹣24°,
∴∠ABP=32°;
(Ⅱ)∵AB=BC,BP平分∠ABC,
∴BM⊥AC,
∴∠BMC=90°,
∵PD⊥BC,点D是BC边的中点,
∴PD垂直平分BC,
∴PB=PC,
∵△PCM的周长为m+2,
∴PM+PC+CM=PM+PB+CM=BM+CM=m+2,
∴(BM+CM)2=BM2+CM2+2BMCM=m2+2BMCM=(m+2)2,
∴BMCM=2m+2,
∴△BCM的面积=BMCM=m+1.

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