Question

6．如图，在平面直角坐标系中，AO⊥BO，∠B=30°，点B在y=$\frac{3}{x}$的图象上，求过点A的反比例函数的解析式．

Answer 1

分析 作AD⊥x轴于D，BE⊥x轴于E，如图，设B（m，$\frac{3}{m}$），在Rt△ABO中利用含30度的直角三角形三边的关系得OB=$\sqrt{3}$OA，再证明Rt△AOD∽Rt△OBE，利用相似比得到AD=$\frac{\sqrt{3}}{3}$m，OD=$\frac{\sqrt{3}}{m}$，则A点坐标为（-$\frac{\sqrt{3}}{m}$，$\frac{\sqrt{3}}{3}$m），设点B所在反比例函数的解析式为y=$\frac{k}{x}$，然后根据反比例函数图象上点的坐标特征易得k=-$\frac{\sqrt{3}}{m}$•$\frac{\sqrt{3}}{3}$m=-1，从而得到反比例函数解析式．

解答 解：作AD⊥x轴于D，BE⊥x轴于E，如图，设B（m，$\frac{3}{m}$）
在Rt△ABO中，∵∠B=30°，
∴OB=$\sqrt{3}$OA，
∵∠AOD=∠OBE，
∴Rt△AOD∽Rt△OBE，
∴$\frac{AD}{OE}$=$\frac{OD}{BE}$$\frac{OA}{OB}$=，即$\frac{AD}{m}$=$\frac{OD}{\frac{3}{m}}$=$\frac{1}{\sqrt{3}}$，
∴AD=$\frac{\sqrt{3}}{3}$m，OD=$\frac{\sqrt{3}}{m}$，
∴A点坐标为（-$\frac{\sqrt{3}}{m}$，$\frac{\sqrt{3}}{3}$m），
设点A所在反比例函数的解析式为y=$\frac{k}{x}$，
∴k=-$\frac{\sqrt{3}}{m}$•$\frac{\sqrt{3}}{3}$m=-1，
∴点B所在反比例函数的解析式为y=-$\frac{1}{x}$．

点评 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=k．也考查了相似三角形的判定与性质．