Question

1．二次函数y=ax²-2x+c的图象与x轴交于A（-1，0），C（3，0），与y轴交于点B．
（1）a=1，c=-3；
（2）P是x轴上一动点，点D（0，1）在y轴上，连接DP，求PD+$\frac{\sqrt{2}}{2}$PC的最小值．

Answer 1

分析 （1）利用待定系数法即可解决问题；
（2）作PE⊥BC于E．首先证明PE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$PC，可得DP+$\frac{\sqrt{2}}{2}$PC=DP+PE，所以当D、P、E共线，且DE⊥BC时，DP+$\frac{\sqrt{2}}{2}$PC 最小值；

解答 解：（1）把A（-1，0），C（3，0）代入y=ax²-2x+c可得$\left\{\begin{array}{l}{a+2+c=0}\\{9a-6+c=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{c=-3}\end{array}\right.$，
故答案为1，-3．

（2）作PE⊥BC于E．

∵OB=OC=3，∠BOC=90°，
∴∠OCB=45°，
∴PE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$PC，
∴DP+$\frac{\sqrt{2}}{2}$PC=DP+PE，
∴当D、P、E共线，且DE⊥BC时，DP+$\frac{\sqrt{2}}{2}$PC 最小值，易知最小值=$\frac{\sqrt{2}}{2}$BD=2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查抛物线与x轴的交点问题、最值问题等知识，解题的关键是学会用转化的首先思考问题，属于中考常考题型．