Question

5．已知E是平行四边形ABCD中DA边延长线上的一点，且$\frac{EA}{AD}=\frac{1}{2}$，连结EC，分别交AB，BE于点F，G，若∠ADC=45°，ED=3$\sqrt{2}$，DC=6．
（1）求线段AD的长；
（2）求线段BF的长；
（3）求线段BD的长．

Answer 1

分析 （1）根据已知条件得到$\frac{AD}{DE}$=$\frac{2}{3}$，代入数据即可得到结果；
（2）根据平行四边形的性质得到AB∥CD，AB=CD=6，推出△AEF∽△CDE，由相似三角形的性质得到$\frac{AE}{DE}=\frac{AF}{CD}$，代入数据即可得到结论；
（3）过B作BH⊥DC于H，根据平行线的性质得到∠BCH=∠ADC=45°，解直角三角形得到CH=BH=$\frac{\sqrt{2}}{2}$BC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AD=2，根据勾股定理即可得到结论．

解答 解：（1）∵$\frac{EA}{AD}=\frac{1}{2}$，
∴$\frac{AD}{DE}$=$\frac{2}{3}$，
∵ED=3$\sqrt{2}$，
∴AD=2$\sqrt{2}$；

（2）在平行四边形ABCD中，
∵AB∥CD，AB=CD=6，
∴△AEF∽△CDE，
∴$\frac{AE}{DE}=\frac{AF}{CD}$，
∴$\frac{AF}{CD}=\frac{1}{3}$，
∴AF=2，
∴BF=4；

（3）过B作BH⊥DC于H，
∵AD∥BC，∠ADC=45°，
∴∠BCH=∠ADC=45°，
∴CH=BH=$\frac{\sqrt{2}}{2}$BC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AD=2，
∴BD=$\sqrt{D{H}^{2}+B{H}^{2}}$=$\sqrt{{8}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{17}$．

点评 此题主要考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，正确的作出辅助线构造直角三角形是解题关键．