Question

19．若a、b是方程x²-4x+1=0的两个根，c是方程x²-9=0的正根，问以a、b、c为边的三角形是否存在？若存在，请加以证明；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 先根据根与系数的关系得到a+b=4，ab=1，则利用完全平方公式可计算出|a-b|=$\sqrt{（a+b）^{2}-4ab}$=2$\sqrt{3}$，再利用直接开平方法得到c=3，然后根据三角形三边的关系可判断以a、b、c为边的三角形不存在．

解答 解：不存在．理由如下：
∵a、b是方程x²-4x+1=0的两个根，
∴a+b=4，ab=1，
∴|a-b|=$\sqrt{（a-b）^{2}}$=$\sqrt{（a+b）^{2}-4ab}$=$\sqrt{{4}^{2}-4×1}$=2$\sqrt{3}$，
∵c是方程x²-9=0的正根，
∴c=3，
∵|a-b|＞c，
∴以a、b、c为边的三角形不存在．

点评 本题考查了根与系数的关系：若二次项系数不为1，则常用以下关系：x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两根时，x₁+x₂=-$\frac{b}{a}$，x₁x₂=$\frac{c}{a}$．也考查了三角形三边的关系．