Question

如图，AB是⊙O的直径，PAC是⊙O的割线，∠PAB的平分线与⊙0交于D，DE⊥PC于E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若DE=2AE，AC=6，试求⊙O的半径．

Answer 1

考点：切线的判定

专题：

分析：（1）根据等腰三角形的性质和已知求得∠PAD=∠ODA．进而求得PC∥OD，证得OD⊥DE．即可证得结论；
（2）过点O作OF⊥CP于F，利用垂径定理以及勾股定理计算即可．

解答：（1）证明：∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA．
∵AD平分PAB，
∴∠PAD=∠OAD．
∴∠PAD=∠ODA．
∴PC∥OD，
∵DE⊥PC，
∴OD⊥DE．
∴DE为⊙O的切线．
（2）过点O作OF⊥CP于F．
由垂径定理得，AF=CF．
∵AC=6，
∴AF=3．
∵OD⊥DE，DE⊥CP，
∴四边形ODEF为矩形．
∴OF=DE．OD=EF，
设圆的半径OA=OD=R，
∴AF=R-AE，
∴AE=R-3
∵DE=2（R-3），
∴OF=2AE，．
在Rt△AOF中，OA²=OF²+AF²
即R²=[2（R-3）]²+4²
∴R₁=5．R₂=3（舍去），
∴⊙O的半径=5．

点评：本题考查了圆的切线的判定和性质、垂径定理的运用、矩形的判定和性质以及勾股定理的运用，题目的综合性很强，难度中等，是一道不错的中考题．