如图.在Rt△ABP1中.∠AP1B=Rt∠.∠A=30°.BP1=2.过点P1作P1Q1⊥AB.垂足Q1.过点Q1作Q1P2⊥AP1.垂足P2.过点P2作P2Q2⊥AB.垂足Q2.-如此无限下去.得到一系列阴影三角形△P1Q1P2.△P2Q2P3.△P3Q3P4-.则所有这些阴影三角形的面积和是( )A．$\sqrt{3}$B．$\frac{3}{4}\sqrt{3}$C� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

5．

如图，在Rt△ABP₁中，∠AP₁B=Rt∠，∠A=30°，BP₁=2，过点P₁作P₁Q₁⊥AB，垂足Q₁，过点Q₁作Q₁P₂⊥AP₁，垂足P₂，过点P₂作P₂Q₂⊥AB，垂足Q₂，…如此无限下去，得到一系列阴影三角形△P₁Q₁P₂、△P₂Q₂P₃、△P₃Q₃P₄…，则所有这些阴影三角形的面积和是（　　）

A．

$\sqrt{3}$

B．

$\frac{3}{4}\sqrt{3}$

C．

$\frac{6}{7}\sqrt{3}$

D．

不能确定

分析先根据锐角三角函数的定义求出AP₁，BQ₁，Q₁P₁及Q₁P₂的长，再求出$\frac{{S}_{{△O}_{1}{P}_{1}{P}_{2}}}{{S}_{{△BP}_{1}{Q}_{1}}}$的值，找出规律即可得出结论．

解答解：∵在Rt△ABP₁中，∠AP₁B=Rt∠，∠A=30°，BP₁=2，
∴AP₁=$\frac{{BP}_{1}}{tan30°}$=$\frac{2}{\frac{\sqrt{3}}{3}}$=2$\sqrt{3}$，∠B=60°．
∵P₁Q₁⊥AB，
∴BQ₁=BP₁•cos60°=2×$\frac{1}{2}$=1，Q₁P₁=$\sqrt{3}$．
∵Q₁P₂⊥AP₁，
∴Q₁P₂=P₁Q₁•sin60°=$\sqrt{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{3}{2}$，Q₁P₂∥BP₁，
∴$\frac{{S}_{{△O}_{1}{P}_{1}{P}_{2}}}{{S}_{{△BP}_{1}{Q}_{1}}}$=$\frac{{Q}_{1}{P}_{2}}{{BP}_{1}}$=$\frac{\frac{3}{2}}{2}$=$\frac{3}{4}$，
∵S_△BP1Q1=$\frac{1}{2}$×1×$\sqrt{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴S_△Q1P1P2=$\frac{3\sqrt{3}}{8}$，
∴$\frac{{S}_{{△O}_{1}{P}_{1}{P}_{2}}}{{S}_{四边形BP1P2Q1}}$=$\frac{\frac{3\sqrt{3}}{8}}{\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{3\sqrt{3}}{8}}$=$\frac{3}{7}$．
同理可得，$\frac{{S}_{{△O}_{2}{P}_{2}{P}_{3}}}{{S}_{四边形O2Q1P2P3}}$=$\frac{3}{7}$，…，
∴S_阴影=$\frac{3}{7}$S_△ABP1=$\frac{3}{7}$×$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{3}$×2=$\frac{6\sqrt{3}}{7}$．
故选C．