Question

12．已知如图，抛物线y=x²+bx+c经过点A（-1，0）、B（3，0）．
（1）求b、c的值；
（2）如图，点D与点C关于点O对称，过点B的直线交y轴于点N，交抛物线于另一点M．若∠DBM=∠ACO，求$\frac{MN}{NB}$的值；
（3）如图，在（2）的条件下，点P是y轴上一点，连PM、PB分别交抛物线于点E、F，探究EF与MB的位置关系，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用待定系数法即可解决问题．
（2）取点Q（1，4），P（0，1），如图1中，作QR⊥y轴于R，连接PQ，则RQ=OP=1，PR=OC=OB=3，由△POR≌△BPO≌△CAO，推出BQ与y轴的交点是N，与抛物线的交点是M，利用方程组即可解决问题．
（3）结论：EF∥BM或EF与BM重合．设P（0，m），求出直线PM、PB，再利用方程组求出点E、F坐标，求出直线EF的解析式即可解决问题．

解答 解：（1）∵抛物线y=x²+bx+c经过点A（-1，0）、B（3，0），
∴有方程组$\left\{\begin{array}{l}{1-b+c=0}\\{9+3b+c=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{b=-2}\\{c=-3}\end{array}\right.$，
∴b=-2，c=-3．

（2）∵抛物线解析式为y=x²-2x-3，
∴点C坐标（0，-3），OA=1，OB=3，OC=3，
∵点D与点C关于点O对称
∴△BOD是等腰直角三角形，∴∠2+∠4=45°，
取点Q（1，4），P（0，1），如图1中，作QR⊥y轴于R，连接PQ，则RQ=OP=1，PR=OC=OB=3，
∴△POR≌△BPO≌△CAO，
∴∠1=∠2=∠α，PQ=PB，
∵∠6+∠2=90°，∴∠1+∠6=90°，
∴∠5=90°，∵PQ=PB，
∴∠3+∠4=45°，∵∠2+∠4=45°，
∴∠DBQ=∠3=∠2=∠α=∠ACO，
∴由此BQ与y轴的交点是N，与抛物线的交点是M，
∵B（3，0），Q（1，4），设直线BQ为y=kx+n，则$\left\{\begin{array}{l}{3k+n=0}\\{k+n=4}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-2}\\{n=6}\end{array}\right.$，
∴直线BN的解析式为y=-2x+6，
∴N（0，6），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-2x+6}\\{y={x}^{2}-2x-3}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-3}\\{y=12}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=0}\end{array}\right.$，
∵B（3，0），∴M（-3，12），
作MG⊥y轴于G，
∵N（0，6），M（-3，12），B（3，0），
∴MG=OB=3，NO=NG=6，
∴Rt△MNG≌△Rt△BNO，
∴MN=NB
∴$\frac{MN}{BN}$=1．

（3）结论：EF∥BM或EF与BM重合．
理由：设P（0，m），
∵M（-3，12），B（3，0），
∴可得直线PM的解析式为y=$\frac{m-12}{3}$x+m，直线PB的解析式为y=-$\frac{m}{3}$x+m，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{m-12}{3}x+m}\\{y={x}^{2}-2x-3}\end{array}\right.$消去y得3x²+（6-m）x-3（m+3）=0，
[3x-（m+3）]（x+3）=0，
∴x=-3或$\frac{m+3}{3}$，
x=-3时，y=12，
x=$\frac{m+3}{3}$时，y=$\frac{{m}^{2}-36}{9}$，
∴方程组的解为$\left\{\begin{array}{l}{x=-3}\\{y=12}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{m+3}{3}}\\{y=\frac{{m}^{2}-36}{9}}\end{array}\right.$，
∴E（$\frac{m+3}{3}$，$\frac{{m}^{2}-36}{9}$），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{m}{3}x+m}\\{y={x}^{2}-2x-3}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{m+3}{3}}\\{y=\frac{{m}^{2}+12m}{9}}\end{array}\right.$，
∴F（-$\frac{m+3}{3}$，$\frac{{m}^{2}+12m}{9}$），
设直线EF解析式为y=ax+t，
则$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{m}^{2}+12m}{9}=-\frac{m+3}{3}a+t}\\{\frac{{m}^{2}-36}{9}=\frac{m+3}{3}a+t}\end{array}\right.$，
∴$\frac{{m}^{2}+12m-{m}^{2}+36}{9}$=-$\frac{2（m+3）}{3}a$，
∴a=-2，
∴直线EF的解析式为y=-2x+t，
∵直线BM的解析式为y=-2x+6，
∴t≠6时，EF∥MB，
t=6时，直线EF与BM重合．

点评 本题考查二次函数综合题、一次函数、待定系数法、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握这些知识的应用，学会添加辅助线构造全等三角形，学会利用参数解决问题，题目比较难，属于中考压轴题．