Question

15．已知：如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，延长BC到点D，使CD=BC，延长CA到点E，使AE=2CA；连接AD，BE．求证：AD=BE．

Answer 1

分析 取AE的中点F，连接BF，由线段垂直平分线的性质可求得BF=BC=CD，进一步可证明△BFE≌△DCA，可证明AD=BE．

解答 证明：如图，取AE的中点F，连接BF，
∵AE=2AC，
∴AF=EF=AC，
∵∠BAC=90°，
∴BA垂直平分CF，
∴BF=BC=CD，
∴∠BFA=∠BCA，
∴∠BFE=∠DCA，
在△BFE和△DCA中，
$\left\{\begin{array}{l}{EF=AC}\\{∠BFE=∠DCA}\\{BF=CD}\end{array}\right.$，
∴△BFE≌△DCA（SAS），
∴AD=BE．

点评 本题主要考查等腰三角形、全等三角形的判定和性质，证明△BFE≌△DCA是解题的关键．