Question

如图，AB=AC，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为点D，E，BE与CD相交于点O，连接BC，AO．求证：
（1）AD=AE；      
（2）OA⊥BC．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等腰三角形的性质

专题：证明题

分析：（1）根据垂直定义求出∠ADC=∠AEB=90°，根据AAS推出△ABE≌△ACD，根据全等三角形的判定推出即可；
（2）求出∠ADC=∠AEB=90°，根据HL推出Rt△ADO≌Rt△AEO，根据全等三角形的性质推出∠DAO=∠EAO，根据等腰三角形的性质推出即可．

解答： 证明：（1）∵CD⊥AB，BE⊥AC，
∴∠ADC=∠AEB=90°，
在△ABE和△ACD中

∠BAE=∠CAD ∠AEB=∠ADC AB=AC

∴△ABE≌△ACD（AAS），
∴AD=AE；

（2）∵∠ADC=∠AEB=90°，
∴在Rt△ADO和Rt△AEO中

AO=AO AD=AE

∴Rt△ADO≌Rt△AEO（HL），
∴∠DAO=∠EAO，
∵AB=AC，
∴AO⊥BC．

点评：本题考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质的应用，解此题的关键是求出△ABE≌△ACD和Rt△ADO≌Rt△AEO，难度适中．