Question

13．如图，矩形ABCD中，已知AB=6，BC=8，BD的垂直平分线交AD于点E，交BC于点F，则△BOF的面积为$\frac{75}{8}$．

Answer 1

分析 根据矩形的性质和勾股定理求出BD，证明△BOF∽△BCD，根据相似三角形的性质得到比例式，求出BF，根据勾股定理求出OF，根据三角形的面积公式计算即可．

解答 解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=90°，又AB=6，AD=BC=8，
∴BD=$\sqrt{A{B}^{2}+A{D}^{2}}$=10，
∵EF是BD的垂直平分线，
∴OB=OD=5，∠BOF=90°，又∠C=90°，
∴△BOF∽△BCD，
∴$\frac{BO}{BC}$=$\frac{BF}{BD}$，即$\frac{5}{8}$=$\frac{BF}{10}$，
解得，BF=$\frac{25}{4}$，
则OF=$\sqrt{B{F}^{2}-O{B}^{2}}$=$\frac{15}{4}$，
则△BOF的面积=$\frac{1}{2}$×OF×OB=$\frac{75}{8}$，
故答案为：$\frac{75}{8}$．

点评 本题考查的是矩形的性质、线段垂直平分线的性质以及勾股定理的应用，掌握矩形的四个角是直角、对边相等以及线段垂直平分线的定义是解题的关键．