Question

7．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D为△ABC外一点，连接AD、CD、∠ADC=45°，连接BD，∠DBC=2∠ADB，AB=5，BD=7，则BC=3或4．

Answer 1

分析 作DH⊥AD交BC的延长线于H，连接AH．首先证明BH=BD=7，△ACH是等腰直角三角形，设BC=a，则AC=7-a，在Rt△ACB中，利用勾股定理即可解决问题．

解答 解：作DH⊥AD交BC的延长线于H，连接AH．

设∠ADB=x，则∠DBH=2x，∠BDH=90°-x，
∴∠BHD=180°-2x-（90°-x）=90°-x．
∴∠BHD=∠BDH，
∴BH=BD=7，
∵∠ADH=∠ACH=90°，
∴A、D、H、C四点共圆，
∴∠AHC=∠ADC=45°，
∴AC=CH，设BC=a，
则CH=AC=7-a，
在Rt△ACB中，∵AC²+BC²=AB²，
∴5²=a²+（7-a）²，
解得a=4或3，
∴BC的值为3或4．
故答案为3或4．

点评 本题考查勾股定理、等腰三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质、四点共圆等知识，解题的关键是学会添加辅助线，构造特殊三角形解决问题，题目比较难．