Question

17．如图，已知矩形ABCD的边AB=3，BC=9，将其折叠，使得点D与点B重合，折叠后折痕EF的长是$\sqrt{10}$．

Answer 1

分析 设BD于EF交于点O，则O是BD的中点，易证△ABD∽△OED，根据相似三角形的对应的边的比相等，即可求得OE的长，再根据EF=2OE即可求解．

解答 解：设BD于EF交于点O，则O是BD的中点．
在直角△ABD中，BD=$\sqrt{A{B}^{2}+A{D}^{2}}$=$\sqrt{{9}^{2}+{3}^{2}}$=3 $\sqrt{10}$cm；
则OD=$\frac{3}{2}$$\sqrt{10}$．
∵B、D关于EF对称，
∴∠EOD=90°，
又∵矩形ABCD中，∠A=90°，
∴∠A=∠EOD=90°．
在△ABD于△OED中，∠A=∠EOD=90°，∠ADB=∠ODE，
∴△ABD∽△OED．
∴$\frac{OE}{AB}$=$\frac{OD}{AD}$，
∴OE=$\frac{OD}{AD}$•AB=$\frac{\sqrt{10}}{2}$cm．
∴EF=2OE=$\sqrt{10}$cm．

点评 本题考查了对称的性质以及相似三角形的判定与性质，正确证明△ABD∽△OED是解题的关键．