Question

7．如图，直线y₁=kx+2与反比例函数y₂=$\frac{3}{x}$的图象交于点A（m，3），与坐标轴分别交于B，C两点．
（1）若y₁＞y₂＞0，求自变量x的取值范围；
（2）动点P（n，0）在x轴上运动，当n为何值时，|PA-PC|的值最大？并求最大值．

Answer 1

分析 （1）由点A的纵坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出点A的坐标，再根据两函数图象的上下位置关系，即可得出当y₁＞y₂＞0时，自变量x的取值范围；
（2）由点A的坐标利用待定系数法即可求出直线AB的函数解析式，利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点B、C的坐标，再根据三角形的三边关系即可确定当点P与点B重合时，|PA-PC|的值最大，利用两点间的距离公式即可求出此最大值．

解答 解：（1）当y₂=$\frac{3}{x}$=3时，x=1，
∴点A的坐标为（1，3）．
观察函数图象，可知：当x＞1时，直线在双曲线上方，
∴若y₁＞y₂＞0，自变量x的取值范围为x＞1．

（2）将A（1，3）代入y₁=kx+2中，
3=k+2，解得：k=1，
∴直线AB的解析式为y₁=x+2．
当x=0时，y₁=x+2=2，
∴点C的坐标为（0，2），
∴AC=$\sqrt{（0-1）^{2}+（2-3）^{2}}$=$\sqrt{2}$．
当y₁=x+2=0时，x=-2，
∴点B的坐标为（-2，0）．
当点P于点B重合时，|PA-PC|的值最大，此时n=-2，|PA-PC|=AC=$\sqrt{2}$．
∴当n为-2时，|PA-PC|的值最大，最大值为$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、一次（反比例）函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式以及三角形的三边关系，解题的关键是：（1）利用反比例函数图象上点的坐标特征求出点A的坐标；（2）利用三角形的三边关系确定点P的位置．