Question

15．如图，一次函数y=x+b（b＞0）与反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k≠0）的图象有一个公共点A，直线l⊥x轴于点N（a，0），且与一次函数和反比例函数的图象分别交于点B，C．
（1）当点A的坐标为（1，2）时，
①求一次函数与反比例函数的解析式；
②若四边形ODBC是平行四边形，求a的值；
（2）是否存在四边形ODBC是菱形的情况？如果存在，求出k与b之间的关系式；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）①利用待定系数法即可解决问题；
②利用平行四边形的性质可得OD=BC，列出方程即可解决问题；
（2）存在．由四边形ODBC是菱形，推出OD=BC，OD=OC，可得$\left\{\begin{array}{l}{b=a+b-\frac{k}{a}}\\{b=\sqrt{{a}^{2}+（\frac{k}{a}）^{2}}}\end{array}\right.$，消去a即可解决问题；

解答 解：（1）①把点A的坐标为（1，2），分别代入y=x+b（b＞0）和y=$\frac{k}{x}$中，得到b=1．k=2，
∴一次函数与反比例函数的解析式分别为y=x+1，y=$\frac{2}{x}$．

②由题意D（0，1），B（a，a+1），C（a，$\frac{2}{a}$），
∵四边形ODBC是平行四边形，
∴OD=BC，
∴a+1-$\frac{2}{a}$=1，
解得a=±$\sqrt{2}$．

（2）存在．
理由：由题意D（0，b），B（a，a+b），C（a，$\frac{k}{a}$），
∵四边形ODBC是菱形，
∴OD=BC，OD=OC，
∴$\left\{\begin{array}{l}{b=a+b-\frac{k}{a}}\\{b=\sqrt{{a}^{2}+（\frac{k}{a}）^{2}}}\end{array}\right.$，消去a得到，2k=b²，
∴当四边形ODBC是菱形时，2k=b²．

点评 本题考查反比例函数综合题、一次函数的应用、平行四边形的判定和性质、菱形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用方程的思想思考问题，属于中考常考题型．