Question

8．如图，已知在四边形ABCD中，AB∥CD，AD⊥CD，连接BD，BD=DC，E是BC的中点，连接DE并延长，与AB的延长线交于点F．
（1）求证：△DCE≌△FBE；
（2）若∠C=60°，指出图中与DE相等的线段，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）由AS证明△DCE≌△FBE即可；
（2）由全等三角形的性质得出FE=DE；证明△BCD是等边三角形，得出∠DBC=∠BDC=60°，证出∠ABD=∠DBC，DE⊥BC，由角平分线的性质即可得出DA=DE∴DA=DE．

解答 （1）证明：∵E是BC的中点，
∴CE=BE，
∵AB∥CD，
∴∠C=∠EBF，
在△DCE和△FBE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠C=∠EBF}&{\;}\\{CE=BE}&{\;}\\{∠CED=∠BEF}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△DCE≌△FBE（ASA）；

（2）解：图中与DE相等的线段是FE、DA；理由如下：
∵△DCE≌△FBE，
∴DE=FE，
∵BD=CD，∠C=60°，
∴△BCD是等边三角形，
∴∠DBC=∠BDC=60°，
∵AB∥CD，AD⊥CD，
∴∠ADC=90°，
∴∠ADB=30°，
∴∠ABD=60°=∠DBC，
∵E是BC的中点，
∴DE⊥BC，
∴DA=DE．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质、等边三角形的判定与性质、角平分线的性质等知识；熟练掌握全等三角形的判定与性质是解决问题的关键．