Question

17．已知关于x的一元二次方程x²-（m+1）x+$\frac{{m}^{2}+4}{4}$=0的两根是一个矩形的两邻边的长．
（1）m取何值时，方程有两个正实数根；
（2）当矩形的对角线长为$\sqrt{5}$时，求m的值．

Answer 1

分析 （1）设矩形的两邻边长为a、b，利用根的判别式的意义和根与系数的关系得到$\left\{\begin{array}{l}{△=（m+1）^{2}-4•\frac{{m}^{2}+1}{4}≥0}\\{a+b=m+1＞0}\\{ab=\frac{{m}^{2}+1}{4}＞0}\end{array}\right.$，然后解不等式组即可；      
（2）利用勾股定理得到a²+b²=（$\sqrt{5}$）²，再根据完全平方公式和根与系数的关系得到（m+1）²-2•$\frac{{m}^{2}+1}{4}$=5，然后解m的方程后利用m的取值范围确定m的值．

解答 解：（1）设矩形的两邻边长为a、b，则$\left\{\begin{array}{l}{△=（m+1）^{2}-4•\frac{{m}^{2}+1}{4}≥0}\\{a+b=m+1＞0}\\{ab=\frac{{m}^{2}+1}{4}＞0}\end{array}\right.$，
解得m≥$\frac{3}{2}$，
所以当m≥$\frac{3}{2}$时，方程有两个正实数根；             
（2）根据题意得a²+b²=（$\sqrt{5}$）²，
∴（a+b）²-2ab=5，
∵a+b=m+1，ab=$\frac{{m}^{2}+1}{4}$，
∴（m+1）²-2•$\frac{{m}^{2}+1}{4}$=5
整理得m²+4m-12=0，解得m₁=2，m₂=-6，
又∵m≥$\frac{3}{2}$，
∴m=2．

点评 本题考查了根与系数的关系：若x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两根时，x₁+x₂=-$\frac{b}{a}$，x₁x₂=$\frac{c}{a}$．也考查了根的判别式与矩形的性质．