Question

6．如图，在△ABC中，∠BAC=120°，AB=AC，BC=12，AC的垂直平分线EF交AC于点E，交BC于点F，连接AF．
（1）求证：AB⊥AF；
（2）求AF的长度．

Answer 1

分析 （1）根据等腰三角形的性质得到∠B=∠C=30°，根据线段垂直平分线的性质得到FA=FC，得到∠BAF=90°，得到答案；
（2）根据在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半计算即可．

解答 证明：（1）∵AB=AC，∠BAC=120°，
∴∠B=∠C=30°，
∵EF是AC的垂直平分线，
∴FA=FC，
∴∠FAC=∠C=30°，又∠BAC=120°，
∴∠BAF=90°，
∴AB⊥AF；
（2）∵EF⊥AC，∠C=30°，BC=12，
∴FC=2EF，
∵∠B=30°，AC的垂直平分线EF交AC于点E，交BC于点F，
∴BF=2FA，AF=CF，
∴AF=4．

点评 本题考查的是线段的垂直平分线的性质、等腰三角形的性质和直角三角形的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．