Question

14．如图，在正方形ABCD中，△BPC是等边三角形，BP、CP的延长线分别交AD于点E、F，连结BD、DP，BD与CF相交于点H．给出下列结论：
①△ABE≌△DCF；②$\frac{FP}{PH}$=$\frac{3}{5}$；③DP²=PH•PB；④$\frac{{S}_{△BPD}}{{S}_{正方形ABCD}}$=$\frac{\sqrt{3}-1}{4}$．
其中正确的是①③④．（写出所有正确结论的序号）

Answer 1

分析 根据等边三角形的性质和正方形的性质，得到∠ABE=∠DCF，∠A=∠ADC，AB=CD，证得△ABE≌△DCF，故①正确；由于∠FDP=∠PBD，∠DFP=∠BPC=60°，推出△DFP∽△BPH，得到$\frac{PF}{PH}$=$\frac{DF}{PB}$=$\frac{DF}{CD}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$故②错误；由于∠PDH=∠PCD=30°，∠DPH=∠DPC，推出△DPH∽△CPD，得到$\frac{PD}{CD}$=$\frac{PH}{PD}$，PB=CD，等量代换得到PD²=PH•PB，故③正确；根据三角形面积计算公式，结合图形得到△BPD的面积=△BCP的面积+△CDP面积-△BCD的面积，得到$\frac{{S}_{△BPD}}{{S}_{正方形ABCD}}$=$\frac{\sqrt{3}-1}{4}$故④正确．

解答 解：∵△BPC是等边三角形，
∴BP=PC=BC，∠PBC=∠PCB=∠BPC=60°，
在正方形ABCD中，
∵AB=BC=CD，∠A=∠ADC=∠BCD=90°
∴∠ABE=∠DCF=30°，
在△ABE与△CDF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠ADC}\\{∠ABE=∠DCF}\\{AB=CD}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△DCF，故①正确；
∵PC=CD，∠PCD=30°，
∴∠PDC=75°，
∴∠FDP=15°，
∵∠DBA=45°，
∴∠PBD=15°，
∴∠FDP=∠PBD，
∵∠DFP=∠BPC=60°，
∴△DFP∽△BPH，
∴$\frac{PF}{PH}$=$\frac{DF}{PB}$=$\frac{DF}{CD}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，故②错误；
∵∠PDH=∠PCD=30°，
∵∠DPH=∠DPC，
∴△DPH∽△CDP，
∴$\frac{PD}{CD}$=$\frac{PH}{PD}$，
∴PD²=PH•CD，
∵PB=CD，
∴PD²=PH•PB，故③正确；
如图，过P作PM⊥CD，PN⊥BC，
设正方形ABCD的边长是4，△BPC为正三角形，
∴∠PBC=∠PCB=60°，PB=PC=BC=CD=4，
∴∠PCD=30°
∴PN=PB•sin60°=4×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=2$\sqrt{3}$，PM=PC•sin30°=2，
S_△BPD=S_{四边形PBCD}-S_△BCD=S_△PBC+S_△PDC-S_△BCD=$\frac{1}{2}$×4×2$\sqrt{3}$+$\frac{1}{2}$×2×4-$\frac{1}{2}$×4×4=4$\sqrt{3}$+4-8=4$\sqrt{3}$-4，
∴$\frac{{S}_{△BPD}}{{S}_{正方形ABCD}}$=$\frac{\sqrt{3}-1}{4}$．
故答案为：①③④．

点评 本题考查的正方形的性质以及等积变换，解答此题的关键是作出辅助线，利用锐角三角函数的定义求出PE及PF的长，再根据三角形的面积公式得出结论．