Question

9．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=$\sqrt{5}$，tanB=$\frac{1}{2}$，半径为2的⊙C，分别交AC，BC于点D，E，得到$\widehat{DE}$．
（1）求证：AB为⊙C的切线；
（2）求图中阴影部分的面积．

Answer 1

分析 （1）过点C作CH⊥AB于H，如图，先在Rt△ABC中，利用正切的定义计算出BC=2AC=2$\sqrt{5}$，再利用勾股定理计算出AB=5，接着利用面积法计算出CH=2，则可判断CH为⊙C的半径，然后根据切线的判定定理即可得到AB为⊙C的切线；
（2）根据三角形面积公式和扇形的面积公式，利用S_阴影部分=S_△ACB-S_扇形CDE进行计算即可．

解答 （1）证明：过点C作CH⊥AB于H，如图，
在Rt△ABC中，∵tanB=$\frac{AC}{BC}$=$\frac{1}{2}$，
∴BC=2AC=2$\sqrt{5}$，
∴AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{（\sqrt{5}）^{2}+（2\sqrt{5}）^{2}}$=5，
∵$\frac{1}{2}$CH•AB=$\frac{1}{2}$AC•BC，
∴CH=$\frac{\sqrt{5}×2\sqrt{5}}{5}$=2，
∵⊙C的半径为2，
∴CH为⊙C的半径，
而CH⊥AB，
∴AB为⊙C的切线；
（2）解：S_阴影部分=S_△ACB-S_扇形CDE
=$\frac{1}{2}$×2×5-$\frac{90•π•{2}^{2}}{360}$
=5-π．

点评 本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．在判定一条直线为圆的切线时，当已知条件中未明确指出直线和圆是否有公共点时，常过圆心作该直线的垂线段，证明该线段的长等于半径．也考查了勾股定理和扇形面积的计算．