Question

2．如图1，已知在平面直角坐标系中，抛物线y=ax²+bx+3经过A（-1，0），B（3，0）两点，且与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
（2）设△COB沿x轴正方向平移t（0＜t≤3）个单位长度时，△COB与△CDB重叠部分的面积为S，求S与t之间的函数关系式，并指出t的取值范围；
考生请注意：下面的（3），（4），（5）题为三选一的选做题，即只能选做其中一个题目，多答时只按作答的首题评分，切记哟！
（3）点P是x轴上的一个动点，过点P作直线l∥AC交抛物线与点Q，试探究：随着P点的运动，在抛物线上是否存在点Q，使以点A、P、Q、C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由；
（4）设点Q是y轴右侧抛物线上异于点B的点，过点Q做QP∥x轴交抛物线于另一点P，过P做PH⊥x轴，垂足为H，过Q做QG⊥x轴，垂足为G，则四边形QPHG为矩形．试探究在点Q运动的过程中矩形QPHG能否成为正方形？若能，请直接写出符合条件的点Q的坐标；若不能，请说明理由；
（5）试探究，在y轴右侧的抛物线上是否存在一点Q，使△QDC是等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的点Q坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）已知A、B的坐标，利用待定系数法可确定抛物线的解析式，进而能得到顶点D的坐标；
（2）过C作CF∥x轴交BD于F，当C点运动在CF之间时，△COB与△CDB重叠部分是个四边形；当C点运动到F点右侧时，△COB与△CDB重叠部分是个三角形．按上述两种情况按图形之间的和差关系进行求解；
（3）分点P在点Q的左边和右边两种情况，根据平行四边形的对边平行且相等，从点A、C的坐标关系，用点P的坐标表示出点Q的坐标，然后把点Q的坐标代入抛物线解析式求解即可；
（4）表示出PQ和BQ的长，列方程求解即可；
（5）求出D的坐标和对称轴的表达式，分为两种情况：①若以CD为底边，则QC=QD．设Q点坐标为（a，b），根据勾股定理求出b=4-a，代入抛物线求出a、b，②若以CD为一腰，根据抛物线对称性得出点Q与点C关于直线x=1对称，即可求出Q的坐标．

解答 解：（1）∵抛物线y=ax²+bx+3经过A（-1，0），B（3，0）两点，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a-b+3=0}\\{9a+3b+3=0}\end{array}\right.$
解得：a=-1，b=2，
∴y=-x²+2x+3
∵y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，
∴顶点D的坐标为（1，4）；

（2）设直线AB的解析式为y=kx+b．
将B（3，0），D（1，4）代入，
得$\left\{\begin{array}{l}{3k+b=0}\\{k+b=4}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-2}\\{b=6}\end{array}\right.$
∴y=-2x+6．
过点C作射线CF∥x轴交BD于点F，当y=3时，得x=$\frac{3}{2}$，
∴F（$\frac{3}{2}$，3）．
情况一：如图1，当0＜t≤$\frac{3}{2}$时，设△COB平移到△GNM的位置，MG交BD于点H，MN交BC于点S
则ON=BG=t，过点H作LK⊥x轴于点K，交EF于点L．
由△BHG∽△FHM，得$\frac{BG}{FM}=\frac{HK}{HL}$，
即$\frac{t}{\frac{3}{2}-t}=\frac{HK}{3-HK}$，解得HK=2t．
∴S_阴=S_△MNG-S_△SNB-S_△HBG=$\frac{1}{2}$×3×3-$\frac{1}{2}$（3-t）²-$\frac{1}{2}$t•2t=-$\frac{3}{2}$t²+3t；
情况二：如图2，当$\frac{3}{2}$＜t≤3时，设△AOE平移到△PQR的位置，PQ交AB于点I，交AE于点V．
由△IQB∽△IPF，得$\frac{BQ}{FP}=\frac{IQ}{IP}$，
即$\frac{3-t}{t-\frac{3}{2}}=\frac{IQ}{3-IQ}$，解得IQ=2（3-t）．
∵BQ=VQ=3-t，
∴S_阴=$\frac{1}{2}$IV•BQ=$\frac{1}{2}$（3-t）²=$\frac{1}{2}$t²-3t+$\frac{9}{2}$．
综上所述：s=$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{3}{2}{t}^{2}+3t（0＜t≤\frac{3}{2}）}\\{\frac{1}{2}{t}^{2}-3t+\frac{9}{2}（\frac{3}{2}＜t≤3）}\end{array}\right.$；
（3）存在，
∵直线l∥AC，
∴PQ∥AC且PQ=AC，
∵A（-1，0），C（0，3），
∴设点P的坐标为（x，0），
则①若点Q在x轴上方，则点Q的坐标为（x+1，3），
此时，-（x+1）²+2（x+1）+3=3，
解得x₁=-1（舍去），x₂=1，
所以，点Q的坐标为（2，3），
②若点Q在x轴下方，则点Q的坐标为（x-1，-3），
此时，-（x-1）²+2（x-1）+3=-3，
整理得，x²-4x-3=0，
解得x₁=2+$\sqrt{7}$，x₂=2-$\sqrt{7}$，
所以，点Q的坐标为（1+$\sqrt{7}$，-3）或（1-$\sqrt{7}$，-3），
综上所述，点Q的坐标为（2，3）或（1+$\sqrt{7}$，-3）或（1-$\sqrt{7}$，-3）；
（4）存在，
点Q的坐标为（x，-x²+2x+3），
∵P、Q是抛物线上一对对称点，对称轴为x=1，
∴p（2-x，-x²+2x+3）
∵四边形QPHG为矩形，
∴当PQ=BQ时，四边形QPHG为正方形，
∴x-（2-x）=-x²+2x+3，
解得：x=$\sqrt{5}$或x=-$\sqrt{5}$（不合题意舍去），
当x=$\sqrt{5}$时，y=-x²+2x+3=-5+2$\sqrt{5}$+3=2$\sqrt{5}$-2，
∴当Q的坐标为（$\sqrt{5}$，2$\sqrt{5}$-2）时，四边形QPHG为正方；
（5）存在．
由y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4知，D点坐标为（1，4），对称轴为x=1，
①若以CD为底边，则PC=PD．设P点坐标为（a，b），
由勾股定理，得：a²+（3-b）²=（a-1）²+（4-b）²，
即b=4-a．
又点P（a，b）在抛物线上，b=-a²+2a+3，
则 4-a=-a²+2a+3．整理，得a²-3a+1=0，
解，得a=存在．
由y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4知，D点坐标为（1，4），对称轴为x=1，
①若以CD为底边，则PC=PD．设P点坐标为（a，b），
由勾股定理，得：a²+（3-b）²=（a-1）²+（4-b）²，
即b=4-a．
又点P（a，b）在抛物线上，b=-a²+2a+3，
则 4-a=-a²+2a+3．整理，得a²-3a+1=0，
解，得a=$\frac{3+\sqrt{5}}{2}$＞0或a=$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$＜0（不合题意舍去），
则b=4-$\frac{3+\sqrt{5}}{2}$=$\frac{5-\sqrt{5}}{2}$，
∴Q（$\frac{3+\sqrt{5}}{2}$，$\frac{5-\sqrt{5}}{2}$）；
②若以CD为一腰，因点P在对称轴右侧的抛物线上，由抛物线对称性知，点P与点C关于直线x=1对称，
此时点P坐标为（2，3），
综上所述，符合条件的点P坐标为Q（$\frac{3+\sqrt{5}}{2}$，$\frac{5-\sqrt{5}}{2}$）或（2，3）．

点评 本题考查了用待定系数法求抛物线的解析式，二次函数的顶点坐标，勾股定理，三角形相似的判定与性质，三角形面积计算，平行四边形的对边平行且相等的性质，正方形的判定和性质，等腰三角形的判定等知识点的运用，培养学生运用性质进行计算的能力，用的数学思想是分类讨论思想，题目综合性比较强，有一定的难度．