Question

如图，在△OAB中，C是AB的中点，反比例函数y=

k

x

（k＞0）在第一象限的图象经过A，C两点，若△OAB面积为S，当A（1，2）时，k=

 

；当A（3，4）时，k=

 

．猜想S与k的数量关系，并证明你的猜想．

Answer 1

考点：反比例函数系数k的几何意义,反比例函数图象上点的坐标特征

专题：

分析：根据k=xy就可求得k的值；
分别过点A、点C作OB的垂线，垂足分别为点M、点N，根据C是AB的中点得到CN为△AMB的中位线，然后设MN=NB=a，CN=b，AM=2b，根据OM•AM=ON•CN，得到OM=a，最后根据面积=3a•2b÷2=3ab=

3

2

ON•CN=

3

2

k．

解答：解：∵点A在反比例函数y=

k

x

（k＞0）的图象上，
∴当A（1，2）时，k=xy=1×2=2．
当A（3，4）时，k=xy=3×4=12，
猜想S与k的数量关系为：S=

3

2

k；
如图，分别过点A、点C作OB的垂线，垂足分别为点M、点N，
∵点C为AB的中点，
∴CN为△AMB的中位线，
∴MN=NB=a，CN=b，AM=2b，
∵OM•AM=ON•CN，
∴OM•2b=（OM+a）•b
∴OM=a，
∴ON=2a，OB=3a，
∴S_△AOB=

1

2

×3a•2b=3ab=

3

2

×2ab=

3

2

ON•CN=

3

2

k，
故答案为2，12．

点评：本题考查了确定反比例函数y=

k

x

（k＞0）的k值的方法：通过几何方法得到其图象上某点的横纵坐标之积即可．也考查了三角形中位线的性质．